2024年中考数学--二次函数综合（二）讲义

二次函数综合（二） 目录 一、 例题分析： 2 （一） 线段问题 2 （二） 图形面积问题 3 （三） 相似三角形（全等三角形）存在性问题探究 4 （四） 特殊三角形存在性问题 5 （五） 特殊四边形存在性问题 6 （六） 二次函数与圆综合 6 （七） 二次函数中的参数范围问题 6 （八） 其它问题 6 二、 巩固练习： 7 （一） 线段问题 7 （二） 图形面积问题 10 （三） 相似三角形（全等三角形）存在性问题 14 （四） 特殊三角形存在性问题 19 （五） 特殊四边形存在性问题 24 （六） 二次函数与圆综合 31 （七） 二次函数中的参数范围问题 36 （八） 其他问题 42 三、 拓展练习 52 1、 例题分析： 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A（-3,0），B（1,0）两点，与y轴交于点C.求这个二次函数的表达式. （1） 线段问题 1. 点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN||y轴交直线AC于点N，当点M的坐标为多少时，线段MN有最大值，并求出其最大值. 2. 点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN||y轴交直线AC于点N，作ME⊥AC于点E，当点M的坐标为多少时，△MEN的周长有最大值，并求出其最大值. 3. 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标与周长最小值；若不存在，请说明理由。 4. 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使|QA-QC|最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 5. 若D为OC的中点，P是抛物线对称轴上一动点，Q是x轴上一动点，当P，Q两点的坐标为多少时，四边形CPQD的周长最小？并直接写出四边形CPQD周长的最小值。 （2） 图形面积问题 1. 点Q为直线AC下方抛物线上一动点，是否存在点Q，使S△ACQ=10？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 2. 点P为直线AC上方抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 （3） 相似三角形（全等三角形）存在性问题探究 1. 点Q是抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E，是否存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 2. 点Q是抛物线上一动点，是否存在点Q，使以点A，Q，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 （4） 特殊三角形存在性问题 1. 在平面直角坐标中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 2. 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 3. 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 （5） 特殊四边形存在性问题 1. 点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 （6） 二次函数与圆综合 1. 圆p是以AB为直径的圆，抛物线顶点为D，求点P到DC所在直线的距离。 （7） 二次函数中的参数范围问题 1. 将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x-h)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． （8） 其它问题 1. 点P是x轴上的动点，当∠CPA≤30°时，求点P横坐标的取值范围。 2、 巩固练习： （1） 线段问题 1. （2023·宁夏·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点