专题十三 将军饮马型问题 课件 2023-2024学年北师大版数学七年级下册

专题十三 将军饮马型问题 1 “将军饮马”问题是指动点在直线上运动，线段和差的一类最值问题， 往往通过对称进行等量代换，转化成两点之间的距离或点到直线的距离，或 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值.解决这类问 题要用到两个基本知识点“两点之间线段最短”和“垂线段最短”. 2 类型一 将军饮马型与求角度 1.如图所示，在中， ，平分， 为线段上一动点，为边上一动点，当 的值最 小时，求 的度数. 3 解：如图1，在上截取，连接平分 ， .易知 , , 4 当，，三点在同一直线上，且时， 最小，即 最小，如图2，过点作于点，交于点 . , , , . 5 2.如图，在中，点在边上方，连接， ， ，当取得最小值时，求 的 度数. 6 解：如图，连接 ， , ，与的距离为 . 作点关于的对称点，连接，交于点，连接，由对称性可知， ， 7 ，此时最小.， 是等腰直角三角形， ， ， ， 当取得最小值时，的度数是 . 8 类型二 将军饮马型与三角形周长 3.(2022秋·晋州市期末)如图所示，点，分别是等边三角形 的边，的中点，，点是上的一个动点，求 周长的最小值. 9 解：如图,连接交于点，连接 . 三角形为等边三角形，点，分别是边， 的中点， ，， ， ， , ， ， 10 当，，三点共线时， 最小. 又 为定值， ，，三点共线时， 的周长最小. 由勾股定理，得 ， 的周长为 . 11 4.如图，等腰的底边长为6，面积是24，点为腰 的垂直平分线上一动点.点为的中点，求 的周长 的最小值. 12 解：如图，连接 . 是等腰三角形，点是 边的中点， ， ，解得 . 是线段 的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点 ， 的长为 的最小值， 的周长最短为 . 13 类型三 将军饮马型在三角形中的综合 5.如图，在中， ，， ，如果 点，分别为，上的动点，求 的最小值. 14 解：如图，作点关于的对称点，作于点 ， 交于点，连接，则 ， . 即的最小值为 的长. ，， ， 15 ， . ， ， 即 的最小值为9.6. 16 6.如图，平分，是上一点，于点，点 是射线上的一个动点，若，求 长的最小值. 解：如图，当时， 有最小值. 平分，， ， ， 长的最小值为3. 17 7.如图，已知等腰的面积为9，底边的长为3，腰 的垂直平分线分别交，边于点，，点为 边的 中点，点为直线上一动点，求 的最小值. 18 解：连接， ，如图所示. 是等腰三角形，点是 的中点， ， ， 解得是线段的垂直平分线， ， ， 当，，三点在同一直线上时，最小，即 最小， 的长为的最小值， 的最小值为6. 19 8.如图，在中，，， 平分 交于点，点，分别是线段， 上的动点，求 的最小值. 20 解：如图，作点关于的对称点，过作交 于 点，交于点 ， 则,平分 , 点在线段上， . ，的最小值是 的长. 在和中， 21 ，，， . ， , ， ， . 在中，， 的最小值为4. 22 9.(2021秋·龙湖区期末)如图，在中，已知， 的 垂直平分线交于点，交于点，连接 . （1）若 ，则 的度数是____度； 40 [解析] ， ， ， . 是的垂直平分线，， ， ， ， .故答案为40. 23 （2）若，的周长是 . ①求 的长度； 解：，的周长是 ，即 . ，， ， .即的长度为 . ②若点为直线上一点，请你直接写出 周长的最小值. [答案] 当点与点重合时， 周长的值最小， 周长的最小值为 . 24 10.(2022春·广州期中)在长方形 中， . 25 （1）如图1， ，点为上一动点，将沿 翻折到 位置，若，求 的度数； 解：设 ， ， . 沿翻折到 位置， ， . ， ， ，即 ， 解得.即的度数为 . 26 （2）如图2，若，，，点是线段 上一动点，连接 ，求线段 的最小值. [答案] 过点作于点 ，如图. 当运动到时，根据垂线段最短可知，此时 最小，最小值即 为 的长度. ， ， 线段的最小值为 . 27 11.如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一个格点 （即三角形的顶点都在格点上）. 28 （1）在图中作出关于直线对称的；（要求：与， 与 ，与 相对应） 解：如图所示， 即为所求. 29 （2）若有一格点到点,的距离相等，则网格中满足条件的点 共有___个； 4 [解析] 如图所示，网格中满足条件的点 共有4个； 故答案为4. 30 （3）在直线上找一点，使 的值最小； [答案] 如图所示，点 即为所求. （4）求 的面积. [答案] 的面积为 . 31 $$