空间几何体的内切球讲义-2024届高三数学二轮复习专题

成都七中备课组 空间几何体的内切球 【知识链接】 1．球的体积和表面积公式 ； 2．球体的截面性质： （1）；（2） 3．内切球问题的常用结论： （1）△ABC的内切圆半径与三角形边长、面积的关系（等面积法）： （2）正方体(棱长为a)的内切球(半径为)： 【典例精选】 · 例1：如图，是底面边长为，侧棱长为的正三棱锥，求其内切球的半径． 【答案】 【详解】作面于点.则为正的中心.联结并延长，与交于点，联结.于是，为的中点. 易得，，. 设此三棱锥的内切球半径为.则 变式1：棱长为的正四面体的内切球表面积是___________． 【答案】 【详解】设正四面体内切球的半径为，将正四面体放入棱长为的正方体中（即补形为正方体） ∴，解得： ∴ 变式2：正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则其内切球的半径为_________． 【答案】 【详解】解法1（等体积法）：如图，正四棱锥的高 四棱锥的体积为 ，侧面斜高 正四棱锥的表面积为 正四棱锥的体积为 解法2（截面法）： 1、先画出内切球的截面图， 三点共线； 2、求，，是侧面的高； 3、由相似于，建立等式: ，解出． · 例2：已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________． 【答案】 【详解】因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球 如图，圆锥母线，底面半径，则其高 设该内切球与母线切于点 ，令 ，由，则 ，解得： 变式：已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（     ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，， 设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线，因此， 从而，故.设台体体积为，球体体积为， 则. 故选：B    【目标检测】 1．已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为，则其底面边长为（ ） A．18 B．12 C． D． 【答案】B 【详解】如图，过点P作PD⊥平面ABC于D， 连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形， ∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心． 此时球与四个面相切，如图D、M为其中两个切点， ∵S球=16π, ∴球的半径r=2． 又∵PD=6，OD=2,∴OP=4,又OM=2, ∴=∴ DE=2,AE=6 , ∴ AB=12, 故选B. 2．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设球的半径为，利用圆柱和球的表面积公式即可得到答案. 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为． 圆柱的表面积， 球的表面积， 所以圆柱的表面积与球的表面积之比为. 故选：C. 3．已知某圆锥底面圆的直径是3，圆锥的母线长为3，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体（每条棱长都为a的三棱锥），并且正四面体内接于圆锥的内切球．圆锥的轴截面如图所示，其中轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，则a的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】依题意该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，圆锥的底面的半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图1所示， 由已知，所以为等边三角形，故P是的中心．连接，则平分，所以，所以，即，即正四面体的外接球的半径．另正四面体可以从正方体中截得，如图2所示，从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以，解得，即a的最大值为. 故选：B． 4．(多选题)已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（    ） A．正四面体的棱长为6 B．正四面体的内切球的表面积为 C．正四面体的外接球的体积为 D．线段的最大值为 【答案】ABD 【分析】设这个四面体的棱长为，利用分割补形法求出其外接球的半径，由等体积法求其内切球半径，再由已知列式求解，然后逐个分析判断即可 【详解】设这个四面体的棱长为，则此四面体可看作棱长为的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长， 设外接球的半径为，内切球的半径为，则 ，所以， 四面体的高为，则等体