第八章模型4用临界思想速解取值范围问题模型讲义-2024届高三数学三轮冲刺考点归纳

模型4  用临界思想速解取值范围问题 【问题背景】“临界状态”一般可以认为是从一种状态向另一种状态变化过程中，发生转变时的那一“转折点”或运动状态的“极限”状态（位置）．在解决具有一定制约关系的相关变量的数学问题时，常常运用“临界状态”，即研究问题中的某变量变化到某一状态时出现“转折”或者“极限”的时刻，把动态变化（或不定量）问题转化为静态问题（或定量）问题，从而达到简化运算、事半功倍的解题效果． 【解决方法】 【典例1】（2024湖南长沙一中9月开学考试）已知双曲线，F为左焦点，，分别为左、右顶点，P为C右支上的点，且（O为坐标原点）．若直线PF与以线段为直径的圆相交，则C的离心率的取值范围为（ ） A．       B．      C．      D． 【套用模型】 如图1，设双曲线的右焦点为，连接，则，则，P为C右支上的点，取PF的中点为B，连接OB，则． 图1 第一步：整体审题，根据题目的条件和设问，分析变量的变化过程（状态），确定“临界点” 根据题目的条件和设问，确定本题中有两个“临界点”. 第二步：分析变量在“临界点”附近“形”的变化形式，从而确定“临界点”及“临界值”． 若直线PF恰好与以线段为直径的圆相切于B点， 【破瓶颈】找两个临界点，直线与圆O相切和圆O经过，F，P点，这两个临界点都取不到，对应的双曲线离心率也都不能取到 则，即，根据双曲线的定义得， 又，所以，即，此时离心率为． 考虑极限情况，若以线段为直径的圆恰好经过，F，P点，则，离心率． 第三步：根据“临界值”，确定题设问题的答案． 由以上可知，直线PF与以线段为直径的圆相交，则双曲线的离心率的取值范围是，故选D． 【典例2】（2024·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）函数恰有两个零点，则实数k的取值范围是_______. 【套用模型】 依题意可知，函数恰好有两个零点，即函数与函数的图象有两个交点， 当时，函数与函数的图象不可能有两个交点，不合题意． 第一步：整体审题，根据两个函数图象的位置关系，确定“临界点”． 由上可知，当函数与函数的图象相切时，设切点坐标为， 因为，所以，所以切线方程为， 因为切线过原点，所以． 第二步：确定“临界值”． 又，所以，，此时， 【破瓶颈】函数图象在点处的切线与函数的图象是同一直线，都经过原点，所以直线方程也是一样的 第三步：根据“临界值”，确定题设问题的答案． 所以函数与函数的图象有两个交点时，． 所以实数k的取值范围是． 【典例3】（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知函数，．若恒成立，则实数a的取值范围是_______. 【套用模型】 依题意，恒成立，即恒成立． 令，， 当时，函数和函数的图象相交，不合题意． 第一步：整体审题，根据题目的条件和设问，分析变量的变化过程，确定“临界点”． 当时，设函数的图象和函数的图象相切于点， 【指点迷津】要符合要求，则需使函数的图象不在函数的图象下方，那么临界点即两个函数的图象相切时的情形，此时函数的图象在点处的切线就是的图象 ，切线方程为． 第二步：确定“临界值”． 又函数的图象是过定点的直线，将代入切线方程， 则有，得，. 第三步：根据“临界值”，确定题设问题的答案． ，故当恒成立时，实数a的取值范围是． （2024·广东·一模） 1．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2023·山西·一模） 2．设双曲线的左､右焦点分别为，，过作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2023·吉林·二模） 3．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （22-23高三上·浙江台州·期末） 4．已知函数若函数在恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． （22-23高三上·河南·阶段练习） 5．已知函数，若不等式恒成立，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2023·北京昌平·二模） 6．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． （2024·陕西渭南·模拟预测） 7．已知斜率为3的直线l过双曲线C的右焦点，且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C．（1,3） D． （2023·全国·模拟预测） 8．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （22-23高三下·河北衡水·阶段练习） 9．已知函数若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（