第七章 模型3 用定量定性双法分析立体几何中的求角问题模型 讲义-2024届高考数学三轮冲刺考点归纳

模型3  用定量+定性双法分析立体几何中的求角问题 【问题背景】新高考在考查立体几何的模块中，涉及有关角的考查是核心考点之一，也是必考内容之一，解决角的相关问题常用的方法有两种：几何法，即根据角的定义和线面关系，在图形中找出该角，再将该角置于三角形中，通过解三角形得解；向量法，多在空间直角坐标系下，借助直线的方向向量、平面的法向量的夹角，根据夹角公式计算，再利用向量的夹角求所求角。 【解决方法】 【典例1】 （2024河北定州中学8月开学考试） 如图1所示，四边形ABCD是圆柱下底面的内接四边形，AC是圆柱底面的直径，PC是圆柱的一条母线，，，点F在线段AP上，． 图1 （1）求证：平面平面PBC． （2）若，，求直线AC与平面FCD所成角的正弦值． 解析 （1）因为PC是圆柱的一条母线，所以底面ABCD， 又底面ABCD，所以． 因为AC是圆柱底面的直径，所以． 因为PC，平面PBC，，所以平面PBC． 又平面PAB，所以平面平面PBC． （2）【套用模型】几何法 第一步：厘清线面关系，将已知条件进行转化． 因为，，，所以， 又，所以． 所以，，且平面PCD，所以， ，，，． 在中，，． 在中，，所以，所以， 所以． ． 第二步：根据直线与平面所成角的定义，将求角转化为求距离． 设点A到平面FCD的距离为d，由得，解得． 第三步：将角置于直角三角形中，解三角形求解． 设AC与平面FCD所成的角为，因为，所以， 即直线AC与平面FCD所成角的正弦值为． 【套用模型】向量法 第一步：建立空间直角坐标系． 如图2，以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，过C且垂直于平面APC的直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系． 图2 因为，，， 所以， 又，所以． 因为，，所以，， 第二步：求出空间中的直线的方向向量及平面的法向量． 则，，，， 所以，，． 设平面FCD的法向量为，则令，得，，则平面FCD的一个法向量为． 第三步：利用夹角公式，计算向量的夹角． 设直线AC与平面FCD所成角为， 则． 【易错提醒】注意平面FCD的法向量与直线AC的方向向量所成角不是直线与平面所成角 第四步：根据夹角和所求角之间的关系，翻译还原为所求角． 即直线AC与平面FCD所成角的正弦值为． 【典例2】 （2024湖南长沙一中9月开学考试） 如图3，在四棱锥中，平面ABCD，，，是等边三角形，． 图3 （1）求证：平面平面PAC． （2）求二面角的余弦值． （1）平面ABCD，平面ABCD，． 在中，，，，， ，，又，PA，平面PAC，平面PAC． 平面PCD，平面平面PAC． （2）【套用模型】几何法 第一步：厘清线面关系，合理添加辅助线，将已知条件转化． 过点B作交AC于点M，过M作交PC于点N，连接BN． 第二步：根据二面角平面角的定义，确认该角． 平面ABCD，平面ABCD，． 又，，PA，平面PAC，平面PAC， 平面PAC，， 又，，MN，平面BMN，平面BMN， 平面BMN，，为二面角的平面角． 第三步：将角置于三角形中，解三角形求解． 在中，，，，， 故二面角的余弦值为． 【套用模型】向量法 第一步：建立空间直角坐标系． 如图4，取BC的中点E，连接AE，则AE，AD，AP两两垂直， 【拿分要点】建立空间直角坐标系之前，一定要说明三条两两垂直的相交直线，若垂直关系不易直接看出，还需要进行证明 以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 图4 第二步：求出平面的法向量． 则，，，， ，，，． 设平面PAC的法向量为，则 所以令，得平面PAC的一个法向量的． 设平面PBC的法向量为，则 所以令，得平面PBC的一个法向量为． 第三步：利用夹角公式，计算向量的夹角． 记二面角为，显然为锐角，则， 第四步：根据夹角和所求角之间的关系，翻译还原为所求角． 故二面角的余弦值为． （2024高三·全国·专题练习） 1．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，已知，， (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. （2024高三·全国·专题练习） 2．如图所示，正三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且长度均为2．，分别是，的中点，是的中点，过的一个平面与侧棱，，或其延长线分别相交于，，，已知．    (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值． （2024高三·全国·专题练习） 3．如图所示，在四面体ABOC中，，，，且．    (1)设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使，并计算的值． (2)求二面角的平面角的余弦值． （23-24高三下·福建莆田·阶段练习） 4．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且与平面所成角的正切值为2，求平面与平面所成二面