第二章 模型3用同构思想速解指、对型比大小问题模型 ——2024届高考数学三轮冲刺考点归纳

模型3  用同构思想速解指、对型比大小问题 【问题背景】指、对型比大小问题是高考常考题型，大多以选择题的形式出现，其解题方法灵活多变，有作差法、作商法、不等式性质法、特值法、中间值法、图象法、构造函数法等．其中，构造函数法既可以考查函数的图象和性质，又可以考查“同构”这一重要思想，故该方法成为近几年高考比大小问题中的考查热点，难度较大．在利用同构思想解指、对型比大小问题时，需要先将式子通过变形化为同一结构形式，从而构造函数，或将式子化为含有相同数的式子，作差后构造函数，再利用该函数的图象和性质进行比大小． 【解决方法】 【典例1】（2024江苏扬州中学8月开学考试）若，则（ ） A．        B． C．        D． 【套用模型】 第一步：观察式子，化为相同结构． 对已知不等式变形可得：． 【会转化】观察不等式，发现要想将左、右两边化为相同的形式，需要将右边变形，根据对数的运算性质，可得 第二步：构造函数，判断单调性． 令，． 易知函数与在上均为增函数， 所以函数在上为增函数． 第三步：利用函数的单调性比大小． 即，根据函数在上为增函数，可得，则． 【易错提醒】根据对数的真数部分大于0，可知a与2b均大于0，处在同一单调递增区间内 第四步：得出结论． 因为，所以，则，A错，B对． 无法确定与1的大小，故无法确定与0的大小，CD都错．故选B． 【典例2】（2024湖南长沙一中9月开学考试），，，则（ ） A．    B．    C．    D． 【套用模型】 第一步：观察式子，化为含有相同数的式子． ，，． 第二步：构造函数，判断单调性． 设，则， 【作差法】因为与中均含有相同数字，作差得，构造函数，利用函数的单调性比较大小 当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 第三步：利用单调性比大小． 因为函数在上单调递增， 所以，所以，，即． 根据第二步与第三步同理可得b与c，a与c的大小关系，步骤如下： 设，则， 当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，故，即． 令，，则，易知， 【会分析】通过函数图象或构造函数，易证，，所以，所以，即 所以在上单调递减， 所以，所以，故，即． 第四步：得出结论． 综上，，，，所以．故选B． 【典例3】（2024江苏盐城一模）已知偶函数在上单调递增，，，，则（ ） A．    B．    C．    D． 【套用模型】 第一步：观察式子，化为相同结构． ，． 【转化技巧】这里之所以将转化为，是因为构造函数后，发现自变量不在同一单调区间，需将其转化到同一单调区间内 第二步：构造函数，判断单调性． 设，则． 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 第三步：利用单调性比大小． 因为在上单调递减，且， 所以，即，故． 第四步：得出结论． 因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减． 【记重点】奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 ，因为， 所以，即．故选C． 【典例4】（2024江苏宿迁8月开学统考）已知，，，则（ ） A．    B．    C．    D． 【套用模型】 第一步：观察式子，化为含有相同数的式子． ，，，所以，． ，． 【转化技巧】对b和c同时取对数，加负号，将其转化为含有相同数的两个式子 第二步：构造函数，判断单调性． 令，其中，则． 当时，，当时，． 【扫清障碍】，或（结合定义域舍去） 所以在上单调递增，在上单调递减． 第三步：利用单调性比大小． 因为在上单调递减，且，所以，所以，即，． 第四步：得出结论． 又函数在上单调递增，所以．故．故选D． （22-23高三下·浙江台州·期末） 1．已知是定义在的增函数，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． （2023·河北·模拟预测） 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． （22-23高三下·四川成都·期中） 3．已知是定义在的减函数.设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． （23-24高三上·浙江·期中） 4．若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． （22-23高三上·全国·阶段练习） 5．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（    ） A． B． C． D． （22-23高三下·湖北荆州·开学考试） 6．已知．且，，，则（    ） A． B． C． D． （2023·四川·模拟预测） 7．已知函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则（    ） A． B． C． D． （2023·福建漳州·模拟预测） 8．正实数满足，则实数之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． （2024高三·全国·专题练习） 9