第三章模型3用端点效应速解不等式恒成立问题模型讲义-2024届高三数学三轮冲刺考点归纳

模型3  用端点效应速解不等式恒成立问题 【问题背景】不等式恒成立求参数取值范围问题，是高考的热点，同时也是高考难点，其通法是采用分类讨论，但过程往往比较繁琐，计算量较大；当然也可以优先采用分离参数法，然而并非所有的问题都能奏效，尤其是遇到一些问题，其参数根本无法分离．这时候倘若能适当考虑区间端点的性质，先找到一个不等式成立的必要条件，从而缩小范围，然后再证明必要条件也是充分条件，那么即可求得结论；这种必要条件探路，再证充分性的方法，这就是“端点效应”．端点效应类导数题是高考压轴题的“常客”． 【解决方法】 【典例1】（2023全国甲卷改编）关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【套用模型】 解析  依题意，令，， 所以， 第一步：整体审题，分析题意，判断是否可以应用端点效应． 则问题等价于在上恒成立，且． 【点技巧】符合类型2的情形，区间端点的函数值为0，即 第二步：代入端点值，求出参数范围． 于是的必要条件为，即，即． 【破题有招】需要注意的是，（或）只是（或）成立的一个必要条件，若此时“二阶导数”不变号，该方法没有问题；若此时“二阶导数”变号，那么所得结果就可能出现问题，导致错误出现 第三步：证明充分性，求得结果． 当时，， 设，， 则 ， 所以函数在上单调递减， 所以当时，， 于是是在上恒成立的充要条件，所以实数a的取值范围是． 【典例2】（2024湖南长沙一中9月开学考试）关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是______． 【套用模型】 第一步：整体审题，分析题意，判断是否可以应用端点效应． 依题意，令，， 则问题等价于在上恒成立，且， ， 令，，则， 第二步：代入端点值，求出参数范围． 又，于是在上恒成立的必要条件为， 【点技巧】经过两次代换，将不等式恒成立问题转化为函数的恒成立问题，从而转化为利用端点效应速解导数题，注意不要忘记验证，正好符合类型3的情形 ，即． 第三步：证明充分性，求得结果． 当时，， 设，，则． 下面证明在上恒成立． 令，，所以在上恒成立， 所以当时，函数单调递减，所以，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立， 所以当时，函数单调递减，所以， 于是在上恒成立． 所以是在上恒成立的充要条件． 【易遗漏】验证是在上恒成立的充分条件这一步必不可少，否则Step 2求出的参数范围是不严谨的 所以实数a的取值范围为． 【典例3】（2024河北邯郸8月开学考试节选）已知函数，若在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 【套用模型】 第一步：整体审题，分析题意，判断是否可以应用端点效应． 不等式在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，，则，． 第二步：代入端点值，求出参数范围． ，则函数在区间上恒成立的必要条件为，即． 【点技巧】符合类型2的情形，区间端点的函数值为0，即，从而得出不等式成立的必要条件，求出参数的取值范围，但是不要忘记证明充分性 第三步：证明充分性，求得结果， 当时，， 令，，则，． 又在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以当时，在上恒成立． 所以是函数在区间上恒成立的充要条件， 所以实数a的取值范围是． 一、填空题 （23-24高三上·天津滨海新·阶段练习） 1．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 二、解答题 （22-23高三上·安徽·期末） 2．设函数 （1）求证：的导数； （2）若对任意都有求a的取值范围． （22-23高三上·浙江绍兴·期末） 3．设函数. （1）当，求函数的单调区间； （2）当时，若对任意，均有，求的取值范围. （2023高三·全国·专题练习） 4．已知实数，设函数． (1)求函数的单调区间： (2)当时，若对任意的，均有，求的取值范围． （22-23高三下·北京·开学考试） 5．已知函数． (1)直接写出在处的切线方程； (2)当时，求函数在上的最小值； (3)若恒成立，求实数a的取值集合． （2023·四川成都·三模） 6．已知函数，. （1）当时，判断是否是函数的极值点，并说明理由； （2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值. （2023·湖北武汉·模拟预测） 7．已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）求实数的取值范围，使得在区间内恒成立（为自然对数的底数） （2023·湖北武汉·模拟预测） 8．已知函数． (1)当时，研究函数的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围． （2023·江苏南通·三模） 9．设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R. （I）讨论f(x)的单调性； （II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)． （2023·全国·高考真题） 10．已知函数 (1)当时，讨论的单调性；