第六章 模型1 平面向量几何意义的应用模型 讲义-2024届高考数学三轮冲刺考点归纳

模型1  平面向量几何意义的应用 【问题背景】平面向量作为一种基本工具，在平面几何问题的求解中起到极其重要的作用，而教材中对于平面向量给出了几何表示和坐标表示两种形式，相比较而言，学生对于向量的坐标表示更容易接受和理解，但对向量的几何表示包括几何运算往往感到比较困难，然而从平面向量的几何意义来看，其中又有很多独特之处，如能合理地运用向量的加法、减法的平行四边形法则或三角形法则以及向量平行与垂直的充要条件，结合平面向量的基本定理等这些几何意义，那么在解决平面几何问题时往往就能起到避繁就简的效果. 【解决方法】 【典例1】（平面向量与解三角形交汇，双空题｜2023天津）在三角形中，，为线段的中点，为线段的中点，若设，则可用表示为__________；若，则的最大值为__________. 【套用模型】 第一步：整体审题 根据题中：若设，显然以它们作为基底向量，借助与向量的加法，减法等运算表示出新的向量，再结合向量数量积的运算，运用函数和不等式的相关知识求最值. 第二步：寻找联想.题中已指定了两个不共线的向量，故联想到平面向量基本定理. 在中，，点为的中点，点为的中点.对于第一空，用，表示即可；对于第二空，可作出图形，再进行分析. 第三步：确定方法并运算.选择合适的三角形，借助向量的加法、减法和数乘运算表示出新的向量，再结合数量积的运算处理问题. 第一空 由于为的中点，所以，又是的中点，所以. 由于，所以. 第二空 作出图形，如图1所示. 图1 因为，所以， 由可得， 即，即. 于是. 记， 则. 在中，根据余弦定理得， 于是. 由和基本不等式得，，当且仅当时取得等号，故，则时，有最大值. 第四步：得出结论 故答案为：；. 【典例2】（22-23高三下·陕西咸阳·期末）如图2，中，，，半径为1的分别交，于点，点是劣弧上的一个动点，则的取值范围是________. 图2 【套用模型】 第一步：整体审题 根据本题中的图形是一个等腰三角形为背景，故联想到可以建立平面直角坐标系，用坐标法处理本题.再结合向量数量积的运算，运用函数和不等式的相关知识求相关的范围. 第二步：寻找联想. 是顶角为、腰为4的等腰三角形，的半径为1，是劣弧上的一个动点，求的取值范围.有题图，可以考虑建系；也可以考虑取三角形底边的中点，用几何法解决. 第三步：确定方法并运算，运用坐标法处理，结合三角函数进行处理. 方法一：坐标法如图3，以为原点，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，其中. 所以 . 图3 因为，所以. 方法二：几何法 如图4，取的中点，连接，则两个动向量均可用一个动向量和一个定向量表示.. 图4 因为为定值，所以的变化可由的变化确定. 连接，易得，当为劣弧与的交点时，取得最小值，为；连接，的最大值为. 所以的取值范围是，即. 第四步：得出结论 所以 一、单选题 （22-23高三下·黑龙江大庆·期中） 1．在中.已知是延长线上一点.点为线段的中点.若.且.则(    ) A． B． C． D． （22-23高三下·湖南长沙·阶段练习） 2．如图，在中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （22-23高三上·山西吕梁·期中） 3．如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 （2023·湖北武汉·一模） 4．在中，为线段的中点，为线段垂直平分线上任一异于的点，则 A． B． C． D．7 （22-23高三上·浙江·开学考试） 5．婆罗摩芨多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为婆罗摩芨四边形．如图，已知圆O内接四边形ABCD中，对角线于点P，过点P的直线EF分别交一组对边AB，CD于点E，F，且，则①；②；③为定值；④，以上结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （22-23高三上·浙江温州·期末） 6．在面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题 （22-23高三上·江苏南通·期中） 7．如图，在三角形中，点是边上一点，且，点是边的中点，过作的垂线，垂足为，若，则 ．    （22-23高三上·天津南开·期末） 8．如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，且，则 ，若是线段的中点，且，则 . （23-24高三上·天津东丽·期中） 9．在中，，面积为，点D为的中点，，设，，则用，表示为 ；若点F为的中点，则的最小值为