第五章模型1用综合法快解新情境背景下的数列创新题模型讲义-2024届高三数学三轮冲刺考点归纳

模型1 用综合法快解新情境背景下的数列创新题 【问题背景】高考创新题，向来是高考试题中最为亮眼的风景线，其中数列作为创新问题设置的重要载体，是高考创新题命题的热点之一，其创新性的呈现形式是多种多样的，但其求解方法也是有章可循的，例如用综合法就可以处理新情境背景下的数列创新题. 【解决方法】 【典例1】（有界数列与无界数列|2024广东深中、华附、省实、广雅四校8月第一次联考|多选）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ） A.若，则数列是无界的 B.若，则数列是有界的 C.若，则数列是有界的 D.若，则数列是有界的 【套用模型】 第一步：整体审题，提取信息. 题设关键信息是“有界数列”的定义，选项中给出了不同的数列. 第二步：结合信息，确定解题方向、方法. 通过定义，得到如何判断“有界数列”的方法，即判断数列通项的绝对值是否不大于某个常数. 第三步：由第二步所确定的方法，进行推理、运算. A 恒成立，存在正数，使得恒成立，数列是有界的 × B ，，，， 【易错提醒】因为需要考虑绝对值，有同学认为，所以有界，结果看似正确，但这是不完整的 存在正数，使得恒成立，数列是有界的 √ C ，当为偶数时，；当为奇数时，.存在正数，使得恒成立，数列是有界的 √ D ，.在上单调递增，， 不存在正数，使得恒成立，数列是无界的 × 第四步：给出结论. 综上所述，选BC. 【典例2】（2024重庆一中8月入学考试）正项数列的前项的积为，的前项的积为，若是公差为1的等差数列. （1）求数列的通项公式. （2）记数列的前项的和为，证明：. 【套用模型】 第一步：整体审题，提取信息. 已知有两条关键信息，一是数列的前项的积为，另一个是数列是公差为1的等差数列，据此可求出的表达式，即递推关系式. 第二步：结合信息，确定解题方向、方法. 根据是公差为1的等差数列，又易推出首项为1，再结合正项数列的前项的积为，即可求得两者间的关系. 第三步：由第二步所确定的方法，进行推理、运算. 因为数列的前项的积为，所以， 又是公差为1的等差数列，所以，即，. 当时，，所以；当时两式相除，得，即. 【易错提醒】因为的前提是，所以探求时要注意分类讨论，再验证总结 第四步：给出结论. 又满足上式，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，所以，所以. ，， 因为当时，， 所以当时，，所以. 【典例3】（2024湖南长沙名校8月第一次质量检测|多选）若数列中任意连续三项，，均满足，则称数列为跳跃数列.则下列结论正确的是（ ） A.等比数列：1，，，，，…是跳跃数列 B.数列的通项公式为，数列是跳跃数列 C.等差数列不可能是跳跃数列 D.等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比 【套用模型】 第一步：整体审题，提取信息. 题设关键信息是“跳跃数列”的定义，选项中给出了不同的数列. 第二步：结合信息，确定解题方向、方法. 通过定义，得到如何判断“跳跃数列”的方法，题设关键信息是跳跃数列的定义，通过相邻三项的关系进行运算，判断跳跃数列. 第三步：由第二步所确定的方法，进行推理、运算. 对于A，等比数列1，，，，，…的通项公式为， 那么.， 由跳跃数列的定义知，等比数列1，，，，，…是跳跃数列，故A正确. 对于B，数列的前三项为，，，不符合跳跃数列的定义，（【点技巧】判断不正确，只需找到反例），故B错误. 对于C，当等差数列的公差时，它是递增数列；时，它是递减数列；时，它是常数列. 所以等差数列不可能是跳跃数列，故C正确. 对于D，若等比数列是跳跃数列，则，整理得，即， 若等比数列的公比满足，则， 可得，所以等比数列是跳跃数列，故D正确. 第四步：给出结论. 故选ACD. 一、单选题 （23-24高三下·重庆·期中） 1．定义：满足 为常数，）的数列 称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得 成立的最小正整数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 （23-24高三上·四川绵阳·一模） 2．若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是 “平方递推数列” D．是 “平方递推数列” （23-24高三上·上海普陀·期末） 3．对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（   ） A．若为“s数列”，则为“t数列” B．若，则为“t数列” C．若，则为“s数列” D．若等比数