第四章 模型2四边形或多边形背景下的解三角形模型——2024届高考数学三轮冲刺考点归纳

模型2  四边形或多边形背景下的解三角形模型 【问题背景】以四边形或多边形为载体而呈现出的解三角形问题是近年来新高考的热点问题之一，让边角关系的呈现方式更加隐蔽、多样为特色，解题关键在于挖掘题设条件关系，寻找可解三角形，再充分的进行边角关系转化，让最终问题得到解决． 【解决方法】 【典例1】（2024海南定安中学8月开学考试）如图1，已知平面四边形存在外接圆，且． 图1 （1）求的面积； （2）若，求的周长． 【套用模型】（1），第一步：分析要求的面积缺少哪些必要条件． 已知，则求出即可求出的面积． 第二步：在四边形中，根据求． 因为平面四边形存在外接圆， 所以， 【挖掘条件】平面四边形存在外接圆，则对角互补，即 又，所以， 第三步：将求得的的值代入三角形面积公式求解． 所以． （2），第一步：分析要求的周长缺少哪些必要条件． 中，，但长度未知，可在中求出． 【找突破口】在多边形中解三角形，三角形的公共边往往是解题的关键 第二步：在中，由余弦定理求． 在中，由余弦定理得，所以． 第三步：回到，根据余弦定理及求出的列方程求得，得解． 在中，由余弦定理得， 又，则，解得． 所以的周长为． 【典例2】（2024湖南师大附中9月月考）在梯形中，，， ． （1）求的值； （2）若的面积为4，求的长． （1）在中，， 由正弦定理得，则． （2）【套用模型】第一步：分析要求缺少哪些必要条件． 在中，，的面积为4，如果能够求出，则可以进一步求出，进而求出． 第二步：在梯形中，根据平行关系求解． 因为为锐角，所以． 所以． 【会变换】，则，又，所以，据此求解 第三步：回到，根据三角形面积公式求解，再根据余弦定理求解． 因为，所以． 因为为锐角，所以． 在中，由余弦定理得， 所以． 【典例3】（2024四川沪县一中8月开学考试）如图2，平面四边形中，与相交于点． 图2 （1）求的面积； （2）求的值及的长度． （1），【套用模型】第一步：分析要求的面积缺少哪些必要条件． 在中，和均未知． 第二步：在中，根据勾股定理及三角函数的定义求解和． ， 第三步：回到，结合三角形面积公式得解． ． （2），【套用模型】第一步：分析求及缺少哪些必要条件． 考虑在中求解，在中求解． 是等腰三角形，且顶角的外角余弦值易求， 求出，则可以在中由正弦定理求． 第二步：结合外角和角度关系求解和． ，，，，， ． 【易错】求解三角形内角的余弦值时要特别关注能否取到负值，需要具体问题具体分析 又，在中，，，，则 ． 【依据】互补的两个角的正弦值相等，展开时十分容易出错，注意仔细检查 第三步：在中，结合正弦定理求解． 由正弦定理，可知． （2024高三上·全国·专题练习） 1．如图，在平面四边形中，．记的面积为，的面积为．，则S的最大值为 ． （23·24高三上·江苏盐城·阶段练习） 2．如图，在平面凸四边形中，，，，，为钝角，则对角线的最大值为 . （23·24高三下·福建龙岩·期中） 3．如图，设的内角所对的边分别为，，且，若是外一点，，，则当四边形的面积最大时， ．    （23·24高三下·黑龙江牡丹江·阶段练习） 4．如图，在三角形中，若，，，则的长度的最大值为 .      （2024·河南安阳·校联考一模） 5．在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3． (1)证明：3cosA－4cosC＝1； (2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12＋S22的最大值． （2024·广东深圳·深圳外国语学校二模） 6．如图．在平面四边形中，． （1）设，证明为定值． （2）若，记的面积为，的面积为．，求S的最大值． （2024·广东·校联考模拟预测） 7．在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3． (1)若cos∠CBD＝，求； (2)记四边形ABCD的面积为,求的最大值． （2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测） 8．凸四边形是四个内角都小于的四边形．如图，凸四边形中，，，是等腰直角三角形，，设． (1)求的取值范围； (2)设四边形的面积为S，求的解析式，并求S的最大值． （2024·高三上·江苏泰州·期中） 9．如图，在平面凸四边形ABCD中，，，，． (1)若，求； (2)求的取值范围． （2024·江苏南通·高三统考期末） 10．在平面四边形ABCD中，AD＝BD＝1，． (1)求四边形ABCD面积的最大值； (2)求对角线AC长的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．## 【分析】利用余弦定理表示出，可得到，结合同角三角函数平方关系，代入三角形面积公