第五章 模型2用放缩思想速解不等式证明问题模型——2024届高考数学三轮冲刺考点归纳

模型2  用放缩思想速解不等式证明问题 【问题背景】利用放缩思想证明不等式是高考中的难点．放缩思想，就是利用不等式的传递性，对照求解目标合理放大或缩小，使用时要注意放缩有度．放缩的方法技巧有很多，比如添项去项放缩、公式放缩、构造函数放缩等，这些方法需要有敏捷的数学观察力和熟练的代数变形能力，需要灵活运用． 【解决方法】 【典例1】（2024山东济南8月开学考试）已知函数． （1）若，求a的值． （2）证明：当且时，． （1）由题意知，，且． 【突破瓶颈】平时我们见到的问题大多是需要证明“”，此时求解的最大值即可．本题却反其道而行之，提前告诉了我们，但是解决方法不变，我们仍旧可以找的最大值，然后判断众多最大值中什么时候满足小于等于0．“0”有什么特殊之处呢？观察解析式，发现恰好为0，也就是是函数的最大值 ①当时，恒成立，在上单调递减，所以当时，成立，不合题意． 【分类有标准】令，可得，那么根据极值点是否在定义域内（a与0的关系）、极值点与1的关系分类即可 ②当时，由得，由得， 则在上单调递增，在上单调递减，所以成立，不合题意． ③当时，由得，由得， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以对于任意的，，符合题意． ④当时，由得，由得， 则在上单调递增，在上单调递减，所以成立，不合题意． 综上所述，． （2）【套用模型】 第一步：整体审题，找到简单的不等关系． 由（1）知，当时，，即，当且仅当时等号成立． 令，其中且，则有． 第二步：合理放缩． 又，所以，即． 【重要思路】明确放缩的方向，合理地进行添项对不等式进行放大，当遇见与n相关的不等式时，下面这个不等式链是第一思考方向：当时， 第三步：化简不等式，得出结论． 所以， 【累乘法】选择使用累乘法将分子分母相消，从而得出结论 即当且时，． 【典例2】（2024广东梅州中学9月校考）已知数列的前n项和为，，是与的等差中项． （1）求的通项公式． （2）设，且数列的前n项和为，求证：． 解析 （1）是与的等差中项，． 当时，，又，． 当时，， ，． 【技巧点拨】递推公式形如“”的数列，可以通过等号两边同时加某个常数，配凑出以q为公比的等比数列 又，，数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ，． （2）【套用模型】 第一步：整体审题，找到简单的不等关系． 由（1）得． ，， 【找不等关系】根据数列通项公式的形式进行等比数列形式的放缩，得到 第二步：从不等关系入手合理放缩． ， 当时，， ，，，，． 第三步：得出结论 【典例3】（2024河南郑州外国语学校10月调研）已知函数． （1）证明：． （2）已知，证明：． （1）函数的定义域为R，， 由得，由得， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的最小值是，所以． （2）【套用模型】 第一步：整体审题，找到简单的不等关系． 由（1）得，．令，其中，则，即， 令，则， 所以，． 【会转化】通过两次换元，得到，，这帮助我们找到了与之间的关系，那么接下来再找到与的关系即可．显然可以利用不等式，注意步骤要规范书写 令，则且不恒为零， 所以函数在上单调递增，故，则． 第二步：合理放缩． 所以，． 【关键点】以为桥梁，放缩得到三角函数值与对数值之间的不等关系 第三步：化简不等式，得出结论． 所以，问题得证． （22-23高三上·浙江绍兴·期末） 1．已知数列满足，，（其中、为常数，）. （1）若，，求数列的通项公式； （2）若，，数列的前项和为.证明：，. （2023·广西梧州·一模） 2．已知函数． （1）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性； （2）当时，证明：． （2023·浙江·一模） 3．设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，，证明：，. （22-23高三下·云南玉溪·阶段练习） 4．已知函数. (1)设是的极值点，求的单调区间； (2)证明：当时，. （22-23高三下·湖北武汉·期中） 5．设正项数列的前项和为，且满足对（）． （1）求，，的值； （2）根据（1），猜想数列的通项公式，并证明你的结论； （3）求证：当时，． （2023·河北石家庄·一模） 6．函数的图象在处的切线方程是. （1）求a，b的值； （2）若，证明：. （2023高三·河北·专题练习） 7．已知数列的各项均为正数，记数列的前项和为，数列的前项和为，且，． （1）求的值及数列的通项公式； （2）若有，求证：． （23-24高三上·天津南开·阶段练习） 8．已知数列满足：，正项数列满足：，且，，． (1)求，的通项公式； (2)已知，求：； (3)求证：． （23-24高三上·北京·阶段练习） 9．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的极大值点为2，求a的取值范围； (3)证明：当时，. （2