1.4.3一元二次不等式的应用课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.3　一元二次不等式的应用 题型探究 题型一 不等式的恒成立问题  　　　　已知不等式mx2－2x＋m－2＜0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围． [分析]　本题的易错之处在于忽略对二次项系数为0的讨论，即使不符合题意，也要规范地解答，这是解题过程的完整性． 例 1 2．分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题． 通过等价变形，将参变量分离出来，转化为y＞a(或＜a，或≥a，或≤a)恒成立问题： (1)若y在定义域内存在最大值m，则y＜a(或y≤a)恒成立⇔a＞m(或a≥m)； (2)若y在定义域内存在最小值m，则y＞a(或y≥a)恒成立⇔a＜m(或a≤m)． 【对点练习】❶　若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数a的取值范围． 题型二 一元二次方程根的分布  　　　　已知方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0有两实根，如果两实根都大于1，求实数m的取值范围． 例 2 【对点练习】❷　(2021·陕西汉中高二期末)要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是______________________． {a|－2＜a＜1}　 题型三 一元二次不等式的应用  　　　　恩格尔系数(记为n)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重．根据某镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元．如果2003年后，每户家庭平均消费支出总额每年增加3 000元，到2005年该镇居民生活状况能达到小康水平(即恩格尔系数n满足40%＜n≤50%)，则这个镇每户食品消费额平均每年的增长率至多是多少(精确到0.1%)? 例 3 [归纳提升]　一元二次不等式解决实际应用问题的步骤 (1)理解题意，搞清量与量之间的关系． (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题． (3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解． 【对点练习】❸　有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多少升？ 不等式恒成立时忽略首项系数的符号特征 　　　　要使函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，求m的取值范围． 误区警示 例 4 [错因分析]　只有一元二次不等式才有相应判别式的研究，本题中的函数由于首项系数含有参数，因此可能不是一元二次型，因此必须讨论m的取值．解答本题时容易出错的地方是直接默认函数为一元二次型而采用判别式法处理． [方法点拨]　忽略对疑似二次型问题的首项系数的讨论是二次型问题的常见且典型的错误，因此要注重对首项系数的讨论． 1．若x∈{x|1＜x＜2}时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求m的取值范围． 2．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%． [解析]　对于所有实数x都有不等式mx2－2x＋m－2＜0恒成立，即函数y＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．当m＝0时，－2x－2＜0，显然对任意x不能恒成立； 当m≠0时，由二次函数的图象可知有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝4－4mm－2＜0，))解得m＜1－eq \r(2)． 综上可知，m的取值范围是{m|m＜1－eq \r(2)}． [归纳提升]　求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法 1．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题． 当未说明不等式为一元二次不等式时，有 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.)) (2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c＜0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.)) [解析]　若a＝0时，原不等式为－2x－2≤0不恒成立，所以a≠0． 当a≠0时，则应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0，,a－22－