抛物线解答题新题演练——2024届高三数学三轮冲刺

抛物线2024.4.10 1．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线C：过点. (1)求过点M的抛物线C的切线方程； (2)若A，B是能物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值. 2．（2024·黑龙江·二模）已知是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为． (1)求抛物线焦点坐标及准线方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求的值． 3．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限. (1)求抛物线的方程. (2)证明： (3)设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求. 4．（2024·黑龙江·二模）已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若点，过点的直线交的轨迹于两点，求的最小值. 5．（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点到定点的距离比到定直线的距离小，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)点为上的两个动点，若恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形的面积为，求证：. 6．（2024·四川遂宁·二模）在直角坐标系中，设为抛物线：的焦点，为上位于第一象限内一点．当时，的面积为1． (1)求的方程； (2)当时，如果直线与抛物线交于，两点，直线，的斜率满足，试探究点到直线的距离的最大值. 7．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知抛物线上任意一点满足的最小值为1（为焦点）． (1)求的方程； (2)过点的直线经过点且与抛物线交于两点，请探索三者之间的关系，并证明． 8．（2024·云南·一模）已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，顶点是坐标原点是圆与的一个交点，是上的动点，且在轴两侧，直线与圆相切，线段线段分别与圆相交于点. (1)求的方程； (2)的面积是否存在最大值？若存在，求使的面积取得最大值的直线的方程；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1.【详解】（1）将M的坐标代入抛物线C的方程中，得，故抛物线C的标准方程为. 解法一 ：由题意知过点M的抛物线的切线的斜率一定存在且不为0， 设过点M的抛物线的切线方程为， 将其代入，得， 由，得， 故过点M的抛物线C的切线方程为. 解法二 ：当时，由得，而， 所以过点M（1，2）的抛物线C的切线的斜率为1， 故过点M的抛物线C的切线方程为，即； （2）设，，则，同理， 故，化简得. 易知直线AB的斜率不为0，则可设直线AB的方程为， 将其代入，得，所以，， 所以，即， 直线AB的方程为，直线AB过定点. 连接MQ，易知当时，点M到直线AB的距离最大， 故点M到直线AB距离的最大值为. 2【详解】（1）由，得抛物线焦点坐标为，准线方程为； （2）点在抛物线的准线上，设 由题意知过点作抛物线C的切线，斜率存在且不为0， 设其斜率为k，则切线方程为 联立， 由于直线与抛物线C相切，可知，即， 而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根， 故. 3．【详解】（1）设，易知，准线方程为，所以. 当时，取得最小值，由，解得.所以抛物线的方程为. （2）设直线与轴交于点，因为直线的斜率显然不为0， 所以设直线的方程为， 联立，消去得， 所以，所以， 同理可得，所以. （3）因为，所以，即. 因为，所以，即， 所以，由（2）知，所以， 故，所以，即， 化简得，解得或， 若，则，这与矛盾，所以， 所以. 4．【详解】（1）设动圆圆心为， 到轴距离为，动圆截轴所得半弦长为2， 则，化简得； 所以动圆圆心的轨迹方程为. （2）   设，当直线斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 与的轨迹方程联立得 消去得， 由在抛物线内部，故，所以. 由（1）知，为轨迹的焦点，由抛物线定义得， ， 所以当时，的最小值为； 当直线斜率不存在时，. 由抛物线定义知. 综上，的最小值为. 5．【详解】（1）解法一：设，易知， 根据题意可得，化简得，所以的方程为. 解法二：因为点到定点的距离比到定直线的距离小， 所以点到定点的距离与到定直线的距离相等， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线， 所以的方程为. （2）证明：设，直线的斜率为，线段的中点为，    因为平行四边形MANB对角线的交点在第一､三象限的角平分线上， 所以线段的中点在直线上， 设，所以 所以， 又 所以，即. 设直线的方程为， 即， 联立整理得， 所以，解得， ， 则 . 又点到直线的距离为， 所以记， 因为，所以， 所以. 令，则， 令，可得， 当时，在区间,内单调递增，当时