椭圆解答题新题演练——2024届高三数学三轮冲刺

椭圆2024.4.10 1．（2024·辽宁鞍山·二模）焦点在轴上的椭圆的左顶点为，，，为椭圆上不同三点，且当时，直线和直线的斜率之积为． (1)求的值； (2)若的面积为1，求和的值； (3)在（2）的条件下，设的中点为，求的最大值． 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． (1)设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； (2)过的直线与相交于点三点，求证：． 3．（2024·浙江·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为直线上的动点. (1)求椭圆的离心率. (2)若，求点的坐标. (3)若直线和直线分别交椭圆于，两点，请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 4．（2024·河南郑州·二模）已知椭圆E：过点，且焦距为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N. ①证明：直线MN必过定点； ②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值. 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知椭圆的焦距为6，圆9与椭圆C有且仅有两个公共点 (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线过曲线的左焦点F，且与椭圆分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024·黑龙江·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，离心率为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过作直线与椭圆交于两点， （i）若，求面积的取值范围； （ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由. 7．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴． (1)求椭圆的方程； (2)直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 8．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）已知椭圆离心率为，椭圆上的点到焦点的最远距离是. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上有四个动点，，，，且与相交于点. ①若点的坐标为，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，求的斜率; ②若直线与的斜率均为时，求直线的斜率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．【详解】（1）因为，所以三点共线，则必有点和点关于点对称， 所以，设直线和直线的斜率分别为，， 因为点为椭圆的左顶点，所以， 所以，， 所以， 所以， 所以，所以，即； （2）设过两点的直线为， 当直线的斜率不存在时，两点关于对称，所以，， 因为在椭圆上，所以， 又， 所以，即，结合可得， 此时， ，所以； 当直线的斜率存在时，设其方程为，，联立，消去得， 其中所以，所以因为到直线的距离， 所以， 所以，整理的，符合①式，此时； （3）因为， 所以，即，当且仅当时等号成立，此时为直角三角形且为直角，故解得，从而，此时等号可成立. 所以的最大值为.    2．【详解】（1）由题设可得,， 故椭圆方程为：，双曲线方程为． 由图可知，切点在双曲线上． 设，则，则切线的方程为：， 因为直线过点，所以，， 将代入，得， 所以，，直线的方程为：． （2）由题意可得的斜率存在且不为零，故设方程为：，联立整理得：， ,即且,解得：或，即． 联立整理得：， 解得：或，即． 所以， 所以，所以． 3．【详解】（1）椭圆的离心率为 （2）     设，直线交轴于点，由，∴ ∴或 （3）   ，，， ∴代入得： ， 设， ∴，∴， ∴. 代入得： ， ∴，∴， ∴ ∴，∴ ∴ 即直线方程为： 恒过定点为 4．【详解】（1）依题意有，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）①设：，，，则：， 联立，故，，， 故，由代替m，得， 当，即时，：，过点. 当，即时，，：令，，直线MN恒过点. 当，经验证直线MN过点. 综上，直线MN恒过点. ②令，∵在上单调递减， ∴，当且仅当，时取等号. 故面积的最大值为.    5．【详解】（1） 根据题意得，所以， 所以椭圆的标准方程为． （2） ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆的方程，可得，设，则． 设，则 若为定值，则，解得． 此时点的坐标为． ②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得不妨设，若，则，，． 综上，在轴上存在点，使得为定值．    6．【详解】（1）由已知， 而直线即， 该直线与圆与相切，则，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）（i）由已知，直线的斜率存在且不为 设l方程为：，由得设，则. 故而到直线距离， 所以. 由，知，所以， 所以，所以， 因为在上为增