精品解析：浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题

2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3．考试结束，只需上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期是 A. B. C D. 2. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 4. 设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设数列满足．设为数列的前项的和，则（ ） A. 110 B. 120 C. 288 D. 306 6. 将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数是（ ） A. 300 B. 240 C. 150 D. 50 7. 设集合，且，函数（且），则（ ） A. 为增函数 B. 为减函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 8. 中，已知．若，则（ ） A. 无解 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的方程的两根为和，则（ ） A. B. C. D. 10 已知函数对任意实数均满足，则（ ） A. B. C. D. 函数在区间上不单调 11. 过点的直线与抛物线C：交于两点．抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（ ） A. 直线与抛物线C有2个公共点 B. 直线恒过定点 C. 点的轨迹方程是 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程______． 13. 函数的最大值为______． 14. 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，令，求证：． 16. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个极值点， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：函数有且只有一个零点． 17. 如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，． （1）证明：； （2）若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知是椭圆左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1. （1）求点的坐标. （2）过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点. （ⅰ）证明：点定直线上； （ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 19. 在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． （1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． 注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． （2）把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计． 具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3．考试结束，只需上交答题卡