2.7 一元二次方程及应用 一轮复习 2024年广东中考数学总复习

第7讲　一元二次方程及应用 课标要求 近五年广东省中考省卷考情 1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程;理解方程解的意义,经历估计方程解的过程. 2．理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 3．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 4．了解一元二次方程的根与系数的关系. 5．能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性. 考点 2019 2020 2021 2022 2023 一元二次方程 及其解法 T9/ 3分 T21/ 2分 T14/ 4分 T14/ 3分 — 一元二次方程根 的判别式及根 与系数的关系 — — — — — 一元二次方程 的应用 — — — — — 考情解读:一元二次方程是广东中考的常考内容,主要考查学生利用一元二次方程的相关知识分析问题和解决实际问题的能力. 知识点 1． 一元二次方程(5年1考) (1)定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.  (2)一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2叫做二次项,bx叫做一次项,c叫做常数项;二次项的系数是a,一次项的系数是b.  对点训练 1．(1)下列方程中,是关于x的一元二次方程的有(　A　) ①3x2+2x-1;②+-2=0;③ax2+bx+c=0;④2x2+2x=2x2-1;⑤2x2+3xy-2=0;⑥(x-2)(3x-1)=1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)(2022·广东)若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a=1.  知识点 2．一元二次方程的解法(5年4考) (1)直接开平方法:若x2=a(a≥0),则x=±.  (2)配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成x+2=的形式. (3)公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x= (b2-4ac≥0).  (4)因式分解法:①将方程的右边化为0;②将方程的左边化成两个一次因式的积;③令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程,再解这两个一元一次方程.  对点训练 2．(1)(2023·新疆)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是(　D　) A．(x+6)2=28 B．(x-6)2=28 C．(x+3)2=1 D．(x-3)2=1 (2)(2022·临沂)方程x2-2x-24=0的根是(　B　) A．x1=6,x2=4 B．x1=6,x2=-4 C．x1=-6,x2=4 D．x1=-6,x2=-4 知识点 3．根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac. ①b2-4ac>0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根;  ②b2-4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根;  ③b2-4ac<0⇔一元二次方程没有实数根;  ④b2-4ac≥0⇔一元二次方程有实数根. 对点训练 3．若关于x的一元二次方程x2+x-k=0有两个实数根,则k的取值范围是(　B　) A．k>- B．k≥- C．k<- D．k≤- 知识点 4．一元二次方程根与系数的关系 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根分别为x1,x2,那么x1+ x2=-,x1x2=. 对点训练 4．(2023·天津)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则(　A　) A．x1+x2=6 B．x1+x2=-6 C．x1·x2= D．x1·x2=7 知识点 5．一元二次方程的应用 (1)面积问题:矩形面积=长×宽;三角形面积=底×高. (2)增长率问题:设a为原来的量,n为增长(下降)次数,b为增长(下降)后的量,当x为平均增长率时,则a(1+x)n=b;当x为平均下降率时,则a(1-x)n=b. (3)销售利润问题:单件利润=售价-成本; 商品的总利润=单件利润×销售件数. (4)互赠、握手问题:x人互赠礼物x(x-1)个;x人两两握手x(x-1)次. 对点训练 5．(1)(2023·广西)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示,2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列方程为(　B　) A．3.2(1-x)2=3.7 B．3.2(1+x)2=3.7 C．3.7(1-x)2=3.2 D．3.7(1+x)2=3.2 (2)(2023·黑龙江)如图,在长为100 m,宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是3 600 m2,则小路的宽是(　A　) A．5 m B．70 m C．