2024年九年级中考数学复习 圆中最值问题专题一：阿氏圆讲义

2024年九年级中考数学复习 圆中最值问题专题一：阿氏圆讲义阿氏圆由来：圆心与动点的连线段p，圆心与定点连线段q，或 以线段p，q及其夹角为基准缩小或放大构造相似（放大缩小圆心与动点的连线段长度不变）利用两点之间线段最短解决最值问题。 题目特征：动点在圆上动的带系数（加权系数）线段和问题，动点在圆上动。 经典例题： 条件：①∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，②⊙C半径为2，③P为圆上一动点， 结论：AP＋BP的最小值为 变形：AP＋BP的最小值为 2AP＋BP的最小值为 点拨：带系数的线段和问题需转化为不带系数线段和问题，需通过母子型进行转化，解题套路分为以下几步： （1） 确定转化三角形：AP+圆心（△APC）或者BP+圆心（△BPC） 该如何确定转化三角形呢？转化三角形的线段比应该和题目中的系数比一致，比如题目中的系数比是 :1=1:2，△APC中的线段比是CP:CA=1:3，△BPC中的线段比是CP:CB=1:2，故选择在△BPC中转化 （2） 构造母子型相似 这边总结一个针对阿氏圆的小公式，半径平方＝已知线段×构造线段，需要注意的是构造的线段应从圆心出发，并且和已知线段在同一条线上。第一问的解法则：CP平方＝CB×构造线段，设构造线段为CQ，则CQ＝1，BP＝PQ，题目就转化为不带系数的线段和问题 （3） 计算最值 备注：这类题目学生真正掌握是可以独立地将题目的问题进行改编，并计算出正确结果。 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ） A．7 B．5 C． D． 2.如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是在以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________． 4．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD＋PC的最小值为 ；PD＋4PC的最小值为 ． 5．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）图2 图3 A．7 B．5 C． D． 6.如图，在⊙O中，点A、点在⊙O上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ___________． 7．如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为 　 　． 8．如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________． 9．如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____． 10．如图1，正方形OABC边长是2，以OA为半径作圆，P为弧AC上的一点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连结PO、PA，设PM＝m，PA＝n． （1）求证：∠POA＝2∠PAM； （2）探求m、n的数量关系，并求n﹣m最大值； （3）如图2：连结PB，设PB＝h，求h+2m的最小值． 11.如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是________． 12.如图,在中,,,经过点,且圆的直径在线段上． (1)试说明是的切线； (2)的平分线交弧于点,求证：四边形是菱形； (3)在(2)的条件下,设点是线段上任意一点(不含端点),连接,当的最小值为时,求的半径的值． 13．已知，AB是⊙O的直径，AB＝，AC＝BC． （1）求弦BC的长； （2）若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值； （3）如图2，点P是动点，且AP＝2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q的运动时间t的最小值． 14．如图，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A