福建省华安县第一中学2023-2024学年高二下学期数学限时训练8

华安一中2023-2024（下）高二年级数学限时训练 范围：导数、空间向量、概率 一、单选题 1．若，则P(A)=（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（      ） A． B． C． D． 4．有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．己知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（    ） A．0.2 B．0.05 C． D． 5．假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品．现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取出1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共2小题，每小题6分，共12分） 7．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（    ） A． B． C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 8．甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9．甲箱中有个白球，个黑球，乙箱中有个白球，个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，从乙箱中取出白球的概率是 ． 10．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 . 四、解答题（本题共2小题，每小题15分，共30分） 11．如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形． (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值． （附加题）12．已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：； (3)若，且，求证： 第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C【分析】根据条件概率公式即可求解．【详解】依题意得，所以，解得．故选：C． 2．D【详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为.故选：D 3．B【详解】构造函数，令， 当，，函数在上单调递减， 当，，在上单调递增，所以，从而.故选：B． 4．D详解】根据题意可得； ； 由全概率公式可得： ；故.故选：D. 5．D分析】设出事件，利用条件概率公式与全概率公式进行求解即可. 【详解】设事件A表示“从第一箱中取出1个零件”，事件B表示“取出的零件是次品”，则．故选：D． 6．A【详解】由可得，要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切.设切点坐标为.由，可得，则切线方程为，即，故需使.由可得，解得.故选：A 7．ACD【分析】 根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念，以及对应的概率计算公式可以得到答案.【详解】因为，A正确，B错误；由独立事件定义，若A，B独立，则，，C正确；若A，B互斥，则，，，D正确．故选：ACD 8．ABD【详解】依题意可得，，，， 所以，故A正确、B正确、C错误；，故D正确. 故选：ABD 9．【详解】记事件为“从甲箱中取出一个白球放入乙箱”，事件为“从乙箱中取出白球”，则，，，，.故答案为：. 10．2 【详解】由题意知在四棱锥中，平面，底面是矩形， 以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，设直线与平面所成的角为， 因为直线与平面所成角的正弦值为，即， 所以， 即，解得或（舍去），所以， 故的长为2. 故答案为：2 11．【详解】（1）三棱柱中，由可得, 因，且，面，则平面， 因平面，则，又四边形是菱形,则， 由，面，故得 面，因面 ,故． （2）因，不妨设，则，由余弦定理，,故得：， 分别取为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.( 轴为与平面垂直向上的方向),则有，，，，，，设平面的法向量为，则故可取；又因，，设平面的法向量为，则故可取.设二面角的平面角为，则因故．故二面角的正弦值为. 12．【详解】（1），，令，则，故当时，，单调递增，当，，单调递减；故，故在单调递减，其单调增区间为，无减区间. （2）要证，只要证. ，令，， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 故，则当时，. 令，，当时，恒成立，故在上单调递