湖北省武汉市第六中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷

武汉六中2023级高一4月月考数学试卷 出题人：代会平 审卷人:刘平波 一、单选题 1. 与垂直的单位向量是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，为的中点，为的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角、、所对的边分别为、、，，，是内切圆的圆心，若，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 在中，，，分别是内角，，所对的边，若，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 7. 在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是 A. B. C. D. 8. 向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（ ） A. 点关于点O的对称点不一定为 B. A，B两点间的距离为 C. 若向量平行于向量，则的值不一定为0 D. 若线段的中点为C，则点C的广义坐标为 二、多选题 9. 函数（）的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 图象关于直线对称 D. 若（）上有且仅有两个零点，则 10. 设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则的形状为等边三角形 B. 若，则点M是边BC的中点 C. 过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心 D. 若，则点M在边BC延长线上 11. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则b取值范围是 D. 若D为边上的中点，则的最大值为 三、填空题 12. 如图，是等边三角形，边长为是平面上任意一点．则的最小值为__________． 13. 已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐标为__________． 14. 已知正的边长为1，中心为，过的动直线与边，分别相交于点M、N，，，． （1）若，则________. （2）与的面积之比的最小值为__________. 四、解答题 15. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式. 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，，∠BAC的平分线交BC于D． （1）求∠BAC； （2）若，求AD． 17. 如图，在平行四边形中，，令，. （1）用表示，，； （2）若，且，求. 18. 如图，扇形ABC是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记． （1）若点P是弧的中点，求三条街道的总长度； （2）通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； （3）由于环境原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 武汉六中2023级高一4月月考数学试卷 出题人：代会平 审卷人:刘平波 一、单选题 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多选题