精品解析：上海市嘉定区2023-2024学年高三第二次质量调研数学试卷

2023学年高三年级第二次质量调研 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分． 1. 设集合，，则______． 2. 抛物线的准线方程为__________. 3. 已知圆锥的母线长为2，高为1，则其体积为______． 4. 的展开式中项的系数为______． 5. 已知是虚数单位．则______． 6. 函数的值域为______． 7. 数据1、2、3、4、5的方差为，数据3、6、9、12、15的方差为，则______． 8. 已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为______． 9. 小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率______． 10. 已知，，则函数最小值为______． 11. 在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为______． 12. 若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是______． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分． 13. 双曲线和双曲线具有相同的（ ） A. 焦点 B. 顶点 C. 渐近线 D. 离心率 14. 已知，，且、不共线，则的面积为（ ） A. B. C. D. 15. 嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（ ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 6853° 10:30 4953° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 6229° 10:00 82.00° 12:00 A. B. C. D. 16. 已知函数的最小正周期是，函数的最小正周期是，且，对于命题甲：函数可能不是周期函数；命题乙：若函数的最小正周期是，则．下列选项正确的是（ ） A. 甲和乙均真命题 B. 甲和乙均为假命题 C. 甲为真命题且乙为假命题 D. 甲为假命题且乙为真命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 18. 在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角，并计算的值； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 19. 据文化和旅游部发布的数据显示，2023年国内出游人次达48.91亿次，总花费4.91万亿元．人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游．为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）．现在S市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据： 青壮年 中老年 合计 自由行 60 40 跟团游 20 50 合计 （1）请补充列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关； （2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望． 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 20. 如图：已知三点、、都在椭圆上． （1）若点、、都是椭圆的顶点，求的面积； （2）若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程； （3）若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由． 21. 已知常数，设， （1）若，求函数的最小值； （2）是否存在，且，，依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由． （3）求证：“”是“对任意，，都有”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年高三年级第二次质量调研 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求