1.1 菱形的性质与判定的综合运用 课件 2023-—2024学年北师大版数学九年级上册

菱形的性质与判定的综合运用 北师版·九年级上册 1 动手折菱形 如图你能用一张锐角三角形纸片 ABC 折出一个菱形，使 ∠A 成为菱形一个内角吗？ 先沿着红色线对折，使 AB 与 AC 重合； 再沿着蓝色线对折； 最后沿着绿色线对折。 ☆回忆：菱形有哪些判定？ 类别 判定方法 图示 边 对角线 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 复习回顾 学习目标 1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法. 2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化的思想. 3.培养良好的探究意识以及推理能力，感悟其应用价值；培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力. 探索新知 回忆：平行四边形的面积怎么求？ 转化成长方形 平行四边形的面积 = 底 × 高 菱形是平行四边形 A B D C E 菱形的面积 = 底 × 高 S菱形ABCD = BC · AE 知道菱形 ABCD 的两条对角线长度，你能求出菱形的面积吗？ 例 3 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm. 求： （1）对角线 AC 的长度； （2）菱形 ABCD 的面积. 解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，AC 与 BD 相交 于点 E， ∴∠AED = 90°（菱形对角线互相垂直）， DE = BD = ×10 = 5（cm）（菱形对角线互相 平分）. ∴AE = = = 12（cm）. ∴AC = 2AE = 2×12 = 24（cm）（菱形的对角线互相平分）. 例 3 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm. 求： （1）对角线 AC 的长度； （2）菱形 ABCD 的面积. （2）菱形ABCD 的面积 = △ABD 的面积 + △CBD 的面积 = 2×△ABD 的面积 = 2 × × BD × AE = 2 × × 10 × 12 = 120 （cm2）. 公式由来 文字语言 符号语言 图示 菱 形 的 面 积 公 式 菱形是平行四边形 菱形的面积 =底×高 S菱形ABCD = BC·AE 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积 =对角线乘积的一半 S菱形ABCD = AC·BD 拓展： 对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分 ABCD 是菱形吗？为什么？ 做一做 A B C D A B C D 证明：∵等宽纸条对边平行， ∴AD∥BC， AB∥CD，∴□ ABCD 是平行四边形， 从 A 点作 AM ⊥ DC 交于点 M， 作 AN ⊥ BC 交于点 N， ∵是两张等宽的纸，∴AM = AN. ∵□ ABCD 是平行四边形， ∴∠ABN = ∠ADM， ∵AM ⊥ DC ，AN ⊥ BC， ∴∠ANB = ∠AMD = 90°， ∴△ABN ≌ △ ADM，∴AB = AD， ∴四边形 ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） M N 菱形 性质 判定 具有一般平行四边形的所有性质 菱形的对角线互相垂直 菱形的四条边相等 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义) 四边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 随堂练习 【选自教材P9 随堂练习 第1题】 1. 菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线 BD 长 10 cm. （1）求这个菱形的每一个内角的度数； （2）求这个菱形另一条对角线的长. 解：（1）∵菱形 ABCD 的周长为 40 cm， ∴AB = BC = CD = DA = 10（cm）， 又∵BD = 10（cm）， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD = 60°， ∴∠BCD = 60°，∠ABC =∠CDA = 120°. 【选自教材P9 随堂练习 第1题】 1. 菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线 BD 长 10 cm. （1）求这个菱形的每一个内角的度数； （2）求这个菱形另一条对角线的长. 随堂练习 （2）∵△AEB 是直角三角形， AB =10（cm），BE = 5（cm）