精品解析：浙江省台州市2024届高三下学期第二次教学质量评估数学试题

台州市2024届高三第二次教学质量评估试题 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数（为虚数单位），则（ ） A. 的实部为2 B. C. D. 对应的点位于第一象限 3. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 4. 已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 5. 已知x，y为正实数，则可成为“”的充要条件的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（ ） A B. C. D. 3 7. 房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到，，三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm³的不同规格长方体的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 8. 设，是双曲线：左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（ ） A. 成绩的第60百分位数为122 B. 成绩的极差为36 C. 成绩的平均数为125 D. 若增加一个成绩125，则成绩的方差变小 10. 已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，且直线与平面所成角为，E为正方形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹为抛物线 B. 正方体的内切球被平面所截得的截面面积为 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 点为直线上一动点，则的最小值为 11. 已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. D. 奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为___________（用数字作答）. 13. 某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为___________. 14. 已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，. （1）求（只需写出数值，不需要证明）； （2）若数列的通项可以表示成的形式，求，. 16. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 403 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 17. 如图，已知四棱台中，，，，，，，且，为线段中点， （1）求证：平面； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆：，直线：交椭圆于M，N两点，T为