精品解析：江苏省徐州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

徐州一中2022级高二第二学期期中考试 数学试卷 （满分：150分 时长：120分钟） 一、单选题 1. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 2. 已知四面体，是的中点，连接，则＝（    ） A. B. C. D. 3. 已知某市高三女生在国家体质健康测试中的50米跑成绩（单位：s）近似地服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 4. 在寒假中，某小组成员去参加社会实践活动，已知该组成员有4个男生､2个女生，现将他们分配至两个社区，保证每个社区有2个男生､1个女生，则不同的分配方法有（ ）种. A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 5. 下列选项中，不正确的命题是（ ） A. 若两条不同直线，的方向向量为，，则 B. 若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 C. 若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D. 若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使 6. 将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（ ） A B. C. D. 7. 质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ） A 128种 B. 96种 C. 72种 D. 48种 二、多选题 9. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 10. 在一个袋中装有质地、大小均一样6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A. B. 随机变量X服从二项分布 C. 随机变量X服从超几何分布 D. 11. 在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是（ ） A 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为 三、填空题 12. 如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有______． 13. 用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是______. 14. 已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______． 四、解答题 15. 已知二项式的展开式中第三项的二项式系数为15. （1）求； （2）求展开式中的常数项. 16. 袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色. （1）两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出1个黄球的概率； （2）甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求： ①的值；②随机变量的概率分布和数学期望. 17. 三棱台中，若平面，，，，M，N分别是，中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求点C到平面的距离. 18. 随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. （1）求同学甲第二天选择套餐的概率； （2）证明：数列为等比数列； （3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去A餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值. 19.