2024年高考数学正弦定理与余弦定理达标练习

2024年高考数学正弦定理与余弦定理达标练习 一、单选题 1．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 2．已知的内角A，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．在中，分别是角所对的边，的平分线交于点，，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 4．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（   ）      A． B． C． D． 5．已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（    ） A． B． C． D． 6．记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角，，的对边分别是，，，且的面积，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（     ） A． B．若，则为直角三角形 C．若三角形为等腰三角形，则一定是直角三角形 D．若为锐角三角形，的最小值为1 9．如图1，扇形的弧长为，半径为，线段上有一动点，弧上一点是弧的三等分点，现将该扇形卷成以为顶点的圆锥，使得和重合，则在图2的圆锥中（    ）      A．圆锥的体积为 B．当为中点时，线段在底面的投影长为 C．存在，使得 D． 10．在新农村建设中，某村准备将如图所示的内区域规划为村民休闲中心，其中区域设计为人工湖（点D在的内部），区域则设计为公园，种植各类花草.现打算在，上分别选一处E，F，修建一条贯穿两区域的直路，供汽车通过，设与直路的交点为P，现已知米，，，米，，段的修路成本分别为100万元/百米，50万元/百米，设，修路总费用为关于的函数，（单位万元），则下列说法正确的是（    ）    A．米 B． C．修路总费用最少要400万元 D．当修路总费用最少时，长为400米 11．古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点．已知在中，，且的面积为，则（    ） A．角A，B，C构成等差数列 B．的周长为36 C．的内切圆面积为 D．边上的中线长度为 三、填空题 12．在三角形ABC中，，角A的平分线交于点D，若，则三角形面积的最大值为 ． 13．若的内角的对边分别为，，，点在边上，且的面积为，则 ． 14．已知的三个内角满足,当的值最大时,的值为 . 四、解答题 15．中，为边的中点，. (1)若的面积为，且，求的值； (2)若，求的取值范围． 16．在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求的值； (3)若为的中点，且，求的面积. 17．如图所示，是海面上位于东西方向的两个观测点，海里，点位于观测点北偏东，且观测点北偏西的位置，点位于观测点南偏西，且海里．现点有一艘轮船发出求救信号，点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时．求： (1)的距离； (2)该救援船到达点所需要的时间． 18．已知函数的最小正周期为. (1)求在上的单调递增区间； (2)在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围. 19．在中，，的面积为，为的中点，于点于点.    (1)求的面积； (2)若，求的值. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可得，即，再由两角差的正弦公式化简，可得，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以，所以， 因为.所以， 所以的形状为顶角为的等腰三角形. 故选：B. 2．C 【分析】根据正弦定理得，然后根据余弦定理求出，再利用重要不等式求出即可 【详解】由， 由正弦定理得， 又，且， 所以，故， 又，所以， 由，即，得， 面积的最大值为， 故选：C． 3．B 【分析】由题中等式以及正弦定理进行角化边运算可得边的关系，由余弦定理可求出，结合角平分线由三角形面积公式建立等量关系，结合均值不等式可得出最小值. 【详解】由及正弦定理知，，．