长方体和正方体（二）（讲义）-2023-2024学年五年级下册数学人教版

长方体和正方体（二） 知识导航 一、长方体和正方体的各部分名称 1.由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 3.由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有有6个面，8个顶点，12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 4.长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 5.长方体有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有12条棱，每条的棱的长度都相等。 二、总棱长公式 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 棱长总和÷4=长+宽+高 正方体的棱长总和=棱长×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 三、表面积 1.长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。 2.长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 四、体积 1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.长方体的体积=长×宽×高=底面积×高 V=abh=sh 长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h 宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h 高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b 3.正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 注意：正方体的棱长扩大n倍，表面积扩大n的平方倍，体积扩大n的立方倍。 五、容积 1.箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。 常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。 1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升 2. 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a） 【体积单位换算】　　　高级单位 X进率低级单位 　　　　　　　　　　　低级单位 ÷进率 高级单位 也就是之前学习的“大乘小除” 进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升 1立方厘米＝1毫升 【精典例题1】 长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米，15平方厘米和6平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 思路导航：长方体不同的三个面的面积分别是由长×宽，长×高，宽×高得来的，因此，15×10×6=（长×宽×高）×（长×宽×高）=900=30×30，所以这个长方体的体积是30立方厘米。 15×10×6=900=30×30 答:这个长方体的体积是30立方厘米。 小试身手 1、 一个长方体，不同的三个面的面积分别是25平方厘米，18平方厘米和8平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 2、 一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米，21平方厘米和15平方厘米，且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 3、 一个长方体的体积是48立方厘米，且长、宽、高是三个连续的偶数。这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【精典例题2】 将表面积分别为54平方厘米，96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。 思路导航：因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这个正方体的棱长是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长分别是4厘米，5厘米，知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们的体积和。 大正方体的体积是：3×3×3+4×4×4+5×5×5=216（立方厘米） 答：这个大正方体的体积是216立方厘米。 小试身手 1. 有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三铁块熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。 2. 将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽是13厘米，求它的高。 3．把8块棱长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这个正方体的表面积是多少平方分米？ 【精典例题3】 一个长方体模型，表面积是160平方厘米，这个长方体恰好能分割成两个完全相同的正方体，那么， （1） 其中一个正方体的体积是多少? （2） 原来长方体的体积是多少? 思路导航：从“这个长方体恰好能分割成两个完全相同的正方体”这个条件可以推出长方体有两个相对的面是正方形，另外的