精品解析：上海市同济大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

同济大学第一附属中学 2023学年第二学期高二年级数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器，命题人：孙婷，审核人：王琦） 一、填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，共54分） 1. 抛物线的准线方程为________． 2. 若与a的等差中项为18，则实数a的值为__________． 3. 在的二项展开式中，常数项等于_______. 4. 函数导数_________________. 5. 已知事件与事件相互独立，为事件的对立事件．若，，则__________． 6. 现利用随机数表发从编号为20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______． 7. 一个圆锥的表面积为，母线长为，则其底面半径为______. 8. 已知等比数列的公比为，且，则__________． 9. 已知正四棱锥底面边长为，高与斜高夹角为，则它的体积为__________． 10. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_______． 11. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为______． 12. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________． 二、选择题（13～14题每题4分，15～16题每题5分，共18分） 13. 设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 14. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分如下：7.5，7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，8.9，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数．则下列说法错误的是（ ）． A. 剩下8个评分的众数为7.8 B. 原来的10个评分的80％分位数8.3 C. 剩下8个评分的平均数比原来的10个评分的平均数小 D. 剩下的8个评分的方差比原来的10个评分的方差小 16. 设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是（ ） ①可能等差数列； ②可能为等比数列； ③均能写成的两项之差； ④对任意，总存在，使得． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 三、解答题（17～19每题14分，20～21题每题18分，共78分） 17. 在三棱柱中，平面ABC，，D为AB的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 已知数列满足，，数列满足，． （1）求证：为等差数列，并求通项公式； （2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 19. 为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分．先按照考生原始分从高到低按比例划定,共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，和E级排名各占比5％，其余各级排名各占比10％．现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中至少有一人原始成绩在内的概率； （2）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差s（结果精确到0.1）． 20. 已知曲线． （1）当时，若曲线交轴于、两点，为曲线上异于、的点，求直线、的斜率之积； （2）若直线与曲线交于、两点， ①当时，求面积的最大值； ②当实数为何值时，对任意，都有为定值？并求出的值． 21. 已知函数． （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性及极值； （3）若，任意且，都有成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同济大学第一附属中学 2023学年第二学期高二年级数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器，命题人：孙婷，审核人：王琦） 一、填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，共54分） 1. 抛物线的准线方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】抛物线的准线方程为；故填. 2. 若与a的等差中项为18，则实数a的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差中项的定义计算即可. 【详解】由已知得， 得. 故答案为：. 3. 在的二项展开式中，常数项