大题04 数列求和（4大题型）-【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

大题03数列求和 数列求和以解答题形式为主,每年必考,分值15分.难度中等。天津卷数列近三年难度略有增加，灵活多变。熟练掌握等差、等比数列的前项和公式、分组求和、错位相减、裂项相消、数列放缩等解题方法。 题型一：错位相减 1．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 一、错位相减法求和的步骤 二、注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． 1．已知等比数列的前n项和为，且的前3项和为，的前6项和为78． (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)若数列为首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和． 2．已知是等差数列，，，数列的前项和为，且． (1)求、的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 3．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和. 4．已知是各项均为正数的数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型二：倒序相加 6．已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 如果一个数列,首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前项和可用倒序相加法,如等差数列的前项和即是用此法推导的. 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和 7．记为等差数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，记为数列的前项和，求的值. 题型三：裂项相消 1．已知正项数列的前项和为，且. (1)证明：是单调递减数列. (2)求数列的前项和. 1.分式型：； . 2.根式型：. 3.对数型：. 4.指数型：；. 5.等差性：若是等差数列，则＝. 6.其他型：； 7.三角型：（1）（2） 备注：（1）前面至少写三项，后面至少写二项； （2）正负相消剩下首尾对应几项. 1．设数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)若数列的前项和为，证明：. 2．已知数列满足 (1)求证: 为等比数列； (2)数列的前n项和为，求数列 的前n项和. 3．设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 4．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 题型四：分组求和 1．已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列数列的前项和为，求． “并项求和”一般包括两类问题： ①同一数列的相邻两项(三项或多项)并成“大项”之后，各个“大项”又呈现出有规律特征，进而通过“大项”的求和得出结果； ②两个数列对应项的和(差)并成“大项”，通过求“大项”的和得出结果 1.已知数列中，，且. (1)求的通项公式；(2)求的前10项和. 2．数列满足，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．已知数列为等差数列，且． (1)求； (2)若，数列的前项和为，证明：． 4．已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 1．已知数列满足，，其中为的前n项和．证明： (1)是等比数列． (2)． 2．已知数列前项和为满足，. （1）求通项公式； （2）设，求证：. 3．求证: . 4．记数列的前项和为，且 （1）求的值以及数列前项的和； （2）求证： 5．已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且， (1)求的通项公式． (2)已知，求数列的前项和． (3)求证：． 1．已知数列的前项和满足；数列满足，． (1)求数列、的通项公式； (2)记数列，，求； (3)记数列，求证：． 2．已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：， (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)证明：. 3．已知正项等比数列{an}，满足a2a4=1，a5是12a1与5a3的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设，求数列{bn}的前n项和Sn. 4．已知是等比数列，是等差数列，且， (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前项和； (3)设数列的通项公式为：，，求． 5．已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项. (1)求数列和的通项公式； (2)记，其中，求数列的前项和； (3)令，求证：. 6．若为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和． (3)记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围． 7．设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式；