专题2.3(2) 矩形的折叠问题-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题二 轴对称模型 §2.3 矩形的折叠 人教版中考第二轮总复习---几何模型 折叠问题 数学思想 本质 轴对称 方程思想 全等形 对称性 相等的边 相等的角 对称轴的垂直平分线 利用相似 利用过股定理 求角的大小 线段的长 考点归纳 知识梳理 题型概述 轴对称的性质： 1.轴对称前后的两个图形全等；(①对应角相等；②对应边相等) 2.对称点连线被对称轴垂直且平分． 考点归纳 知识梳理 矩形折叠的常见类型 A B C D C´ E A B C D D´ E A B C D A´ E A B C D A´ E △ABD´与△D´CE有什么关系 (1)△ABE与△C´DE有什么关系 (2)△BDE是什么三角形. A F D´ E D B C 3 5 x 5-x 5-x 3 △A´DE是什么三角形. 点A´的运动路径？ A B C D D´ C´ F E M △MEF是什么三角形. (1)△ABE与△C´DE有什么关系 (2)△BDE是什么三角形. 考点5-1 典例精讲 矩形的折叠与全等三角形 对称的图形中可能会有特殊角，而此时特殊角带来的不仅仅是其本身，也可能会连带其他角也变成特殊角. 【例1】如图,在矩形ABCD中,AD=3,M是CD上一点,将△ADM沿直线AM对折得到△ANM,若AN平分∠MAB,则折痕AM的长为( ) A.3 B.2 C.3 D.6 B 30º 30º 30º 【分析】找出图中隐藏的特殊角.由题意可得： ∠DAM=∠MAN=∠NAB=30º ∵AD=3, ∴DM= ,AM= 3 2 3. A N M D C B 考点5-2 典例精讲 矩形的折叠与相似三角形 【例2】如图,将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若BE=,则AP的长为______. A E C P D B 【分析】由对称可得AP⊥BD,易证△ABE∽△DAB， 设AB=x,则： BE AB = AB DA 代入得： = 2 x x DA ∴DA= x2. 2 2 ∵矩形ABCD面积为32 . 2 ∴x· x2=32 . 2 2 2 解得：x=4. ∴AB=4,AD=8 , 2 128+16= BD= =12, 144 记AP与BD交点为H,则AB·AD=AH·BD， 代入解得：AH= 8 2 3 ∴AP= 16 2 3 性质2：对称点连线被对称轴垂直且平分,连接对称点连线可得垂直,由垂直,可得直角三角形,可得三垂直全等或相似,由三角函数,但终可求线段长. 16 2 3 H 考点5-3 典例精讲 矩形的折叠与勾股定理 【例3】如图,折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm，AD=10cm,则EC=___. A E F D C B 8 10 x 8-x 10 8-x 6 4 42+x2=(8-x)2 x=3 3 方法一：利用勾股定理 方法二：利用相似 x:6=4:8 x=3 考点5-4 典例精讲 矩形的折叠与三角形函数 【例4】如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=,E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置,连接AF,若tan∠BAF=,则CE=______. A F E D C B M N x 2x 4-2x 【分析】过F点作MN∥BC分别交AB、CD于M、N两点. ∴tan∠BAF= 1 2 设FM=x,则AM=2x,BM=4-2x. 在Rt△BMF中：x2+(4-2x)2=( )2， 5 解得：x1=1,x2= (舍), 11 5 易证△BMF∽△FNE. BF EF = BM FN ∴ 【小结】对称点落在内部则可作辅助线,使点落在矩形边上. 代入得： EF = 2 5 5-1 解得：EF= 5- 5 2 ∴CE的长为 5- 5 2 5- 5 2 【例5】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,动点P满足S△PAB=S矩形ABCD,则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为( ) A.2 B.2 C.3 D. A P D C B A´ M N 作点A关于直线MN的对称点A´,连接A´B,与MN交点即为点P. A 【分析】将军饮马问题的基本思路是“作关于动点所在直线的对称,化折线为直线”,本题的一个难点在于要分析出动点P的轨迹是一条直线. 根据S△PAB= S矩形ABCD. 1 3 42+62 =2 13 过点P作MN∥AB分别交AD、BC于M、N两点,则M是线段AD靠近点D的三等分点,N是线段BC靠近点C的三等分点. 此时PA+PB=PA´+PB=A´B= 考点5-5 典例精讲 矩形的折叠与最值问题 如图,在正方形ABCD中,E是