专题10 坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形)（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

专题10　坐标系下的存在性问 题(2)——直角三角形(矩形)、 等腰直角三角形(正方形) 2024达州数学 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 1．直角三角形的判定方法． 2．矩形的判定方法． 3．等腰直角三角形的判定方法． 4．正方形的判定方法． 5．两个公式 ：平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)两点距离公式：|AB|＝； (2)中点坐标公式：. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 总目录 6．平行四边形顶点坐标公式 ： 若▱ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)， D(xD，yD)， 则xA＋xC＝xB＋xD，yA＋yC＝yB＋yD. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 总目录 2 必备素养 几何直观，推理能力，模型观念；分类讨论思想． 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 总目录 3 素养积累 例 1 (2023·眉山) 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，2)，与反比例函数y＝在第四象限内的图象交于点C(6，a)． 直角三角形的存在性问题 素养导向 1 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (1)求反比例函数的表达式； [解答] 解：将A(4，0)，B(0，2)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数表达式为y＝－x＋2. 当x＝6时，y＝－×6＋2＝－1. ∴C(6，－1)． 将C(6，－1)代入y＝，得m＝－6， ∴反比例函数的表达式为y＝－. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)当kx＋b＞时，直接写出x的取值范围； [解答] 解：x＜－2或0＜x＜6.　[设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D. 联立解得或 ∴D(－2，3)．∴由图象可知，当kx＋b＞时，x＜－2或0＜x＜6.] 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (3)在双曲线y＝上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． [解答] 解：存在． 过点A作AE⊥BC交y轴于点E， 则∠BAO＝90°－∠EAO＝∠AEO. ∵∠AOB＝∠EOA＝90°， ∴△AOB∽△EOA. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∴＝.∴＝. ∴OE＝8.∴E(0，－8)． 设直线AE的表达式为y＝cx＋d. 将A(4，0)，E(0，－8)代入上式，得 解得 ∴直线AE的表达式为y＝2x－8. 联立解得或 ∴点P的坐标为(1，－6)或(3，－2)． 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 直角三角形的存在性问题一般对直角顶点进行分类讨论． 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 2 (2023·创编) 如图，抛物线y＝＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，且OC＝3OA，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD. 矩形的存在性问题 素养导向 2 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (1)求抛物线的函数表达式； [解答] 解：∵OC＝3OA＝3， ∴C(0，3)，则抛物线的函数表达式为y＝－x2＋bx＋3. 将点A的坐标代入上式，得 0＝－1－b＋3.解得b＝2. ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)点F为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由． [解答] 解：由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，即点D(1，0)，则DO＝1. ①当矩形为CDFE时，过点E作ME⊥y轴于点M. ∵四边形CDFE为矩形，∠ECD＝90°， ∴∠MEC＝90°－∠MCE＝∠OCD. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∴tan ∠MEC＝tan ∠OCD＝＝. 设MC＝m，则ME＝3m，E(3m，3＋m)． 将点E的坐标代入抛物线表达式，得3＋m＝－(3m)2 ＋2×3m＋3.解得m＝0(舍去)或.则点E的横坐标为 3m＝； 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ②当矩形为CDEF时，过点E作ME⊥x轴于点M.同理可设E(3m＋1，m). 将点E的坐标代入抛物线表达式， 得m＝－(3m＋1)2＋2×(3m＋1)＋3. 解得m＝(负值已舍去)． 则点E的横坐标为3m＋1＝. 综上，点E的横坐标为或. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 已知A(1，1)，B(4，2)，点C在x轴上，点D在平面中，且以A，B， C，D为顶点的四边形是矩形，则C点坐标为_________________________ _________． 或或(2，0) 或(3，0) 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 矩形的存在性问题可以先转化为直角三角形的存在性问题，然后通过构造“K型”相似或三角函数得到比例方程求解． 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 3 (2023·创编) 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－6(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)，B(6，0)，与y轴交于点C. 等腰直角三角形的存在性问题 素养导向 3 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (1)求抛物线的解析式； [解答] 解：将A(－2，0)，B(6，0)代入y＝ax2＋bx－6，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－6. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使△PMB是以PM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． [解答] 解：存在．点M的坐标为(2－2，－4)或 (2＋2，－4)或(2－2，4)或(2＋2，4)． [∵y＝x2－2x－6＝(x－2)2－8， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 设抛物线的对称轴交x轴于点H，过点M作MN⊥x轴于点N. ①当点M在x轴的下方时， ∵∠PBM＝90°，PH⊥AB， ∴∠BPH＝∠MBN. ∵∠PHB＝∠BNM，PB＝BM， ∴△PBH≌△BMN(AAS)． ∴MN＝BH，BN＝PH. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 设P(2，t)，则BN＝PH＝t，MN＝BH＝6－2＝4.∴ON＝BN－OB＝t－6. ∴M(6－t，－4)． 把M(6－t，－4)代入y＝x2－2x－6，得 (6－t)2－2(6－t)－6＝－4. 解得t＝4＋2或t＝4－2. ∴6－t＝2－2或6－t＝2＋2. ∴M(2－2，－4)或M(2＋2，－4)； 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ②当点M在x轴的上方时， 同理可得M(2－2，4)或M(2＋2，4).] 　备用图 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 等腰直角三角形的存在性问题可以通过构造“一线三直角”型全等来得到坐标间的关系，再通过合理的“设参”建立方程求解． 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 4 (2023·改编) 已知抛物线Q1：y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)． (1)请求出抛物线Q1的函数表达式； [解答] 解：∵抛物线Q1：y＝－x2＋bx＋c经过 A(－3，0)，C(0，3)两点， ∴解得 ∴抛物线Q1的函数表达式为y＝－x2－2x＋3. 正方形的存在性问题 素养导向 4 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)如图，在y轴上有一点D(0，－1)，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由． [解答] 解：存在．过点E作EG⊥x轴于点G， 则∠AGE＝90°＝∠AOD. ∵A(－3，0)，D(0，－1)， ∴OA＝3，OD＝1. ∵四边形DAEF是正方形， ∴AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∵∠EAG＋∠DAO＝90°，∠DAO＋∠ADO＝90°，∴∠EAG＝∠ADO. ∴△EAG≌△ADO(AAS)． ∴AG＝OD＝1，EG＝OA＝3.∴E(－2，3)． 当x＝－2时，y＝－x2－2x＋3＝－(－2)2－2×(－2) ＋3＝3.∴点E在抛物线上． 过点F作FL⊥y轴于点L. 同理，△DFL≌△ADO(AAS)． ∴FL＝OD＝1，DL＝OA＝3. ∴OL＝DL－OD＝3－1＝2.∴F(1，2)． 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 正方形的存在性问题一般可以先转化为等腰直角三角形的存在性问题求解． 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P109～111专题10 $$