专题10 坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形)（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学练测（南充专用）

专题10　坐标系下的存在性 问题(2)——直角三角形(矩 形)、等腰直角三角形(正方形) 2024南充数学 目 录 1 A组 基础过关 2 B组 能力训练 1 A组 基础过关 一、选择题 1．在平面直角坐标系中由A(0，3)，B(5，0)，C三点组成的三角形是直 角三角形，则点C的坐标不可能是(　　) A．(0，0) B．(5，3) C．(2，6) D．(3，8) C 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 2．(2023·创编) 如图，点O(0，0)，A(2，2)，若存在格点P，使为 △APO等腰直角三角形，则点P的个数为(　　) C A．4 B．5 C．6 D．8 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 3．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－3，0)，(0，－5)，若平面内存在一点C，使△ABC是等腰直角三角形，则下列C点坐标不符 合题意的是(　　) A．(－8，－3) B．(－5，－8) C．(2，3) D．(5，－3) D 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 二、填空题 5 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 (2，4) 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 6．点A，B，D在平面直角坐标系中的坐标如图所示，若存在点C使得四边形ABCD为正方形，试确定点C到x轴、y轴的距离分别为_______. 2，3 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； 三、解答题 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 解得x1＝－1，x2＝4. ∴A(－1，0). 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 (2)若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在． ∵D是线段AC的中点，A(－1，0)，C(0，2)， ∵∠BED＝90°，B(4，0)，∴BE2＋DE2＝BD2， 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 化简，得t2－t－2＝0.解得t1＝－1，t2＝2. ∴点E的坐标为(0，－1)或(0，2). 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 2 B组 能力训练 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 9．在平面直角坐标系中，x轴的一条垂线MN分别交x轴于点M，交直线y＝2x＋3于点N，当点N位于第二象限，且y轴上存在一点P，使△MNP为等腰直角三角形时，△MNP的直角顶点坐标为 _______________________________． 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 10．如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边BC在y轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2－14x＋48＝0的两个根，AB＜BC，且BC＝2OB. (1)求点A的坐标； 解：x2－14x＋48＝0，(x－6)(x－8)＝0， 解得x1＝6，x2＝8.∵AB＜BC，BC＝2OB， ∴AB＝6，BC＝8，OB＝4.∴A(6，4). 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 (2)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 解：(1)x2－14x＋48＝0，(x－6)(x－8)＝0， 存在，点N坐标为(7，－3)或(－2，10)或(－8，2). [如图1，过点N作NE⊥AB交AB的延长线于点E. ∵四边形ACMN是正方形， ∴AN＝AC，∠CAN＝90°. ∴∠EAN＋∠CAB＝90°. ∵∠EAN＋∠ANE＝90°， ∴∠ANE＝∠CAB. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 ∵∠E＝∠ABC＝90°， ∴△NEA≌△ABC(AAS). ∴EN＝AB＝6，AE＝BC＝8. ∴BE＝8－6＝2. ∵OB＝4，∴N(－2，10)； 如图2，过点N作GH⊥x轴于点Q，延长BA交GH于点G，过点C作CH⊥GH于点H，则∠H＝90°. ∵AB⊥BC，∴∠G＝90°.∴∠G＝∠H＝90°. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 ∴∠HCN＋∠CNH＝90°. ∵四边形AMCN是正方形， ∴AN＝CN，∠ANG＋∠CNH＝90°. ∴∠ANG＝∠HCN. ∴△AGN≌△NHC(AAS). ∴AG＝NH，GN＝CH. 设AG＝x，则NH＝x，GN＝CH＝6＋x. ∵GH＝BC，∴6＋x＋x＝8. ∴x＝1.∴N(7，－3)； 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 如图3，同图1可知M(－2，10).∴N(－8，2). 综上所述，点N的坐标为(7，－3)或(－2，10)或(－8，2).] 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 11．(2022·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋x＋c经过A(－2，0)，B(0，4)两点，直线x＝3与x轴交于点C. (1)求a，c的值； 解：把A(－2，0)，B(0，4)代入抛物线 y＝ax2＋x＋c，得 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 (2)经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式； 设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则 ∴直线AB的解析式为y＝2x＋4. 设直线DE的解析式为y＝mx， 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 当x＝3时，y＝3m，∴E(3，3m). ∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC， ∴9m2－18m－16＝0. ∴(3m＋2)(3m－8)＝0. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 (3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使以B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 ①如图1，过点P作PH⊥y轴于点H. ∵四边形BPGF是矩形， ∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°. ∴∠CFG＋∠BFO＝∠BFO＋∠OBF＝ ∠CFG＋∠CGF＝∠OBF＋∠PBH＝90°. ∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF. ∵∠PHB＝∠FCG＝90°， 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 ∴△PHB≌△FCG(AAS). ∴PH＝CF.∴CF＝PH＝t，OF＝3－t. ∵∠PBH＝∠OFB，∴tan ∠PBH＝tan ∠OFB. 解得t1＝0(舍去)，t2＝1.∴F(2，0)； 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 ②如图2，过点G作GN⊥y轴于点N，过点P作PM⊥x轴于点M， 同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t－3. ∵∠OFB＝∠FPM， ∴tan ∠OFB＝tan ∠FPM. 返回首页 专题10　坐标系下的存在性问题(2)——直角三角形(矩形)、等腰直角三角形(正方形) 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 总目录 11 本讲内容结束 4．如图，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边向右侧作等腰直角三角形△ABC，∠BAC＝90°，则线段AB的长为__________． 5．已知直线y＝x与双曲线y＝(k＞0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4.过原点O的另一条直线l交双曲线y＝(k＞0)于P，Q两点(点P在第一象限)，若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形为矩形，则点P的坐标为__________． 7．如图，抛物线y＝－x2＋bx－c经过点B(4，0)和点C(0，2)，与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC. 解：将点B(4，0)和C(0，2)代入抛物线y＝－x2＋bc＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2. 在y＝－x2＋x＋2中， 令y＝0，得－x2＋x＋2＝0. ∴D(－，1).设E(0，t). 即[(4－0)2＋(0－t)2]＋ ＝＋(0－1)2. 8．已知一次函数y＝－x＋1与反比例函数y＝－的图象交于点A，B，在x轴上存在点P(n，0)，使△ABP为直角三角形，则点P的坐标是 _____________________________________________． (3，0)或(－3，0)或或 (－1，0)，(－1，1)或(0，) 解得 解：由(1)知，抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4. 解得 ∴2x＋4＝mx.∴x＝. ∴·3·(－3m)＝·4·. ∴m1＝－，m2＝(舍去). ∴直线DE的解析式为y＝－x. 解：存在．设P，以B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况： ∴＝，即＝. ∴＝，即＝. 解得t1＝，t2＝(舍去). ∴F. 综上所述，点F的坐标为(2，0)或. $$