专题2.3(1) 矩形的折叠问题-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题二 轴对称模型 §2.3 矩形的折叠 人教版中考第二轮总复习---几何模型 折叠问题 数学思想 本质 轴对称 方程思想 全等形 对称性 相等的边 相等的角 对称轴的垂直平分线 利用相似 利用过股定理 求角的大小 线段的长 考点归纳 知识梳理 题型概述 轴对称的性质： 1.轴对称前后的两个图形全等；(①对应角相等；②对应边相等) 2.对称点连线被对称轴垂直且平分． 考点归纳 知识梳理 矩形折叠的常见类型 A B C D C´ E A B C D D´ E A B C D A´ E A B C D A´ E △ABD´与△D´CE有什么关系 (1)△ABE与△C´DE有什么关系 (2)△BDE是什么三角形. A F D´ E D B C 3 5 x 5-x 5-x 3 △A´DE是什么三角形. 点A´的运动路径？ A B C D D´ C´ F E M △MEF是什么三角形. (1)△ABE与△C´DE有什么关系 (2)△BDE是什么三角形. 【例1】如图,直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将△BCP沿BP折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC=4,则线段AB的长是___. 30º 30º 30º A P D C E F B Q 8 4 3 4 3 【分析】根据图形位置的特殊性,寻找隐含条件. 根据点Q在EF上且∠BQP=90º. ∴∠ABQ=∠PBQ=∠CBP=30º. ∴AB=8. ∵BC=4 , 3 8 ∴BQ= 4 3 考点5-1 典例精讲 矩形的折叠与全等三角形 【例2】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=12,点E是AD边的中点,点F是AB上的一点，将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF=______. A G E F C D B 【小结】从中点处翻折,则另外部分亦可翻折. 【分析】有特殊位置关系必然有隐藏结论. 连接CE,易证△CED≌△CEG(HL). ∴∠CEF=90º, 易证△CDE∽△EAF, 可得： CD EA = CE EF 由CD=3 ,ED=EA=6. 6 ∴CE=3 . 10 代入比例式,得： EF= = 3 10×6 3 6 2 15 2 15 考点5-2 典例精讲 矩形的折叠与相似三角形 13.如图,四边形ABCD是矩形纸片,将△BCD沿BD折叠,得到△BED,BE交AD于点F,AB=3,AF:FD=1:2,则AF=____. A F E D C B x 3 2x 2x x= 3 x2-32=(2x)2, 3 考点5-3 典例精讲 矩形的折叠与勾股定理 【分析】易证△AFB≌△EFD. 【小结】沿对角线折叠,则必有一组全等. ∴AF= . 3 设AF=x,则BF=DF=2x,又AB=3. 解得：x= 3 故x2-32=(2x)2, ∴BF=DF. 【例4】如图,矩形纸片ABCD,AB=4,BC=3,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C落在点E处,PE、DE分别交AB于点O、F,且OP=OF,则cos∠ADF的值为( ) A. B. C. D. A F E D C P O B 4 4-x x+1 【小结】对称点落在矩形外,也可能有全等,有相等线段便可用用勾股与相似. C 【分析】根据0P=0F,易证△0EF≌△0BP, ∴0E=0B,0E+0P=0B+0F,即EP=BF. 设EP=BF=x,则AF=4-x, ∵CP=EP=x, ∴EF=BP=3-x, ∴DF=4-(3-x)=x+1. 在Rt△ADF中,DF2=AD2+AF2, 代入得：(x+1)2=3+(4-x)2 解得：x= . 12 5 ∴DF= . 17 5 ∴cos∠ADF= . 17 5 考点5-4 典例精讲 矩形的折叠与三角形函数 【例5】如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB=S△PCD,则PC+PD的最小值为______. A P C D B M N D´ 【分析】与上题类似,分析出P点轨迹. ∵S△PAB=0.5S△PCD. ∵过点P作MN∥AB分别交AD、BC于M、N两点. 则M是线段AD靠近点A的三等分点,N是线段BC靠近点B的三等分点. 作点D关于MN的对称点D´,连接CD´,与MN交点即为P点. 此时PC+PD=PC+PD´=CD´= 42+82 =4 5 ∴PC+PD的最小值为 . 4 5 4 5 考点5-5 典例精讲 矩形的折叠与最值问题 1.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处,点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处