专题25 ATM找点法基础篇-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

■ ２９０　 ■  ２５ＡＴＭ—[mœ ＡＴＭＺＨＡＯＤＩＡＮＦＡＳＨＡＮＧＰＩＡＮ 　　函数中存在零点，通常我们寻找这个零点， 需要用到零点存在定理，就是当 ｍ＜ｘ０＜ｎ时， 一定有ｆ（ｍ）·ｆ（ｎ）＜０，这样说明ｙ＝ｆ（ｘ）在区 间（ｍ，ｎ）内一定有一个零点． 只要高考题中出现了零点问题，那就需要进 行找点，就是找出这个ｍ和ｎ，一些不太会操作 找点的同学，经常把找点当作玄学，其实找点的 本质就是一句话：把不可解方程转化为可解 方程。 我们来看一下，什么样方程可以在中学的范 围内解出来。 ①ａｘ＋ｂ＝０； ②ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ｂ２－４ａｃ＞０）； ③ａｌｎｘ＋ｂ＝０； ④ａｅｘ＋ｂ＝０（ａｂ＜０）； ⑤ａｘｎ＋ｂ＝０（ｎ＝２ｋ时，ａｂ＜０）； 说起来就是这么简单，总共就是这五个可解 方程，其中①和⑤甚至可以合并，我们就是将一 系列方程式转化为这五个可解方程式，并把零点 求出来，其中体现了不等式放缩能力和技巧，函 数的求单调和极值的基本功，还有方程的转化求 解能力，属于“函数方程不等式”综合能力考查， 因此成为高考的重中之重． 一、零点个数问题分类 既然“三位一体”，我们先从处于老大地位 的函数下手，零点个数涉及的函数知识，我们总 结如下： （１）当 ｆ（ｘ）有一个零点时， ① ｆ（ｘ）单调， 如图１，当ｆ′（ｘ）＞０时，我们需要找到 ａ、 ｂ（ａ＜ｂ），且ｆ（ａ）＜０，ｆ（ｂ）＞０； 如图２，当ｆ′（ｘ）＜０时，我们需要找到 ａ、 ｂ（ａ＜ｂ），且ｆ（ａ）＞０，ｆ（ｂ）＜０； 　　 图１　　　　　　　　　图２ ② ｆ（ｘ）不单调，且仅有一个极值时，ｆ′（ｘ） 单调，ｘ０∈（ａ，ｂ），使ｆ′（ｘ０）＝０，且ｆ（ａ）· ｆ（ｂ）＜０， 　 图３　　　　　　　　　图４ ③ｆ′（ｘ）不单调，且有两个极值时，ｆ″（ｘ）单 调，ｍ∈（ａ，ｂ），ｎ∈（ａ，ｂ）使ｆ′（ｍ）＝０，ｆ′ （ｎ）＝０且ｆ（ｍ）·ｆ（ｎ）＞０，ｆ（ａ）· ｆ（ｂ）＜０如 图５，６； 图５　　　　　　　　　图６ 关于②和③，建议大家先求导，并作出导函 数图象后进行分析，更容易加深问题的理解； （２）当 ｆ（ｘ）有两个零点时， ①ｆ′（ｘ）单调，ｘ０∈（ａ，ｂ），使 ｆ′（ａ） ｆ′（ｂ）＜０，且ｆ（ａ）ｆ（ｘ０）＜０，ｆ（ｂ）ｆ（ｘ０）＜０，如 图７，８； 图７　　　　　　　　　图                               ８ !" ２５ # ＡＴＭ €IX…† ■■ ２９１　 ■ ② ｆ′（ｘ）不单调，且有两个极值时，ｆ″（ｘ） 单调，ｍ∈（ａ，ｂ），ｎ∈（ａ，ｂ）使 ｆ′（ｍ）＝０， ｆ′（ｎ）＝０且ｆ（ｍ）＝０或者 ｆ（ｎ）＝０，ｆ（ａ）ｆ（ｂ） ＜０如图９，１０； 　 图９　　　　　　　　　图１０ （３）当ｆ( )ｘ有三个零点时，会有三次函数的 零点，这里涉及到四段论，我们在三次函数专题 已经分析过，或者出现的指对函数会有一个已知 的显零点，然后转化为两个零点的情况，或者是 对数和飘带函数之间的三个零点问题，属于特殊 题型的问题，具体将会在下一节讲解。 一旦涉及零点个数问题，必须要找点，首先 求导搞定函数的单调性分析，再根据零点存在定 理找到ｆ（ｍ）和ｆ（ｎ），使得 ｆ（ｍ）ｆ（ｎ）＜０，找点 问题在于意识． 二、找点的方程不等式原理 （１）单零点的楞次找点法原理 物理学电磁感应有一个重要的定理叫做“楞 次定理”，其中最重要的一句口诀叫做“增反减 同”，这个原理也能应用在ＡＴＭ找点上，就是单 调递增的函数 ｆ（ｘ），需要找到 ｘ１∈（ｍ，ｎ），使 ｆ（ｘ１）＝０，我们在找大点的时候需要一个更小的 函数ｇ（ｘ），使ｇ（ｎ）＝０；找小点则需要构造一个 更大的函数ｈ（ｘ），使ｈ（ｍ）＝０ （如图１１），我们将此叫做“增反”，即增函 数找大点构造小函数，找小点构造大函数，当然 ｇ（ｘ）以及ｈ（ｘ）都是我们上面介绍的那五个可求 出零点的函数； 减函数则满足“减同”，即减函数找大点构 造大函数，找小点构造小函数（图１２）； 　　　 图１１　　　　　　　　　图１２ （２）单峰函数双零点问题找点原理 我们将只有一个极值的函数称为单峰函数， 当函数极大值大于零或者极小值小于零，通常会 有两个零点，高考中一旦需要我们去找这两个零 点时，我们也可以根据楞次找点法进行分析，两 边都构造放缩函数，得到可解方程。我们通常将 零点当中的较小零点用 ｘ１表示，较大零点用 ｘ２ 表示。 若ｆ（ｘ０）为函数唯一极小值点，那么我们需 要找到ｘ１∈（ａ，ｘ０），ｘ２∈（ｘ０，ｂ），我们可以利 用不同的范围来进行放缩，当 ｘ＜ｘ０时，构造 ｆ（ｘ）＞ｈ（ｘ），当 ｈ（ａ）＝０时，一定有 ｆ（ａ）＞０