专题20 抽象函数的导函数构造-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

专题20 抽象函数的导函数构造 CHOUXIANGHANSHUDEDAOHANSHUGOUZAO 1.f八x)与幂函数的构造 团南于查>0时，9-D=] f'(x)g(x)+f(x)g'(x）=[f八x)g(x)]'与 -[引 <0,则为减函数：又-1)=0，)为奇 g2(x) 模型一：xf'(x)+f八x)>0台[x八x)]'> 函数，则八1)=0，当>1时，八x)<0,当0< 0:f'()-)>0=2]>0 x<1时，f(x)>0,根据奇函效的图象可得八x) >0成立的x的取值范因是(-，-1)U(0, 证明：因为x∫'(x)+八x)=[x(x)]'::1),故选A - 例2(2022·思明区月考)已知函数八x)(x∈ 所以xf'(x)+f(x)>0,则函数y=xf八x) R)是偶函数，f'(x)是函数f代x)(x∈R) 单调递增：xf'(x)-代x)>0,则y=单调！ 的导函数，f(1)=1,若x≥0时，3f八x) +xf'(x)>0,则使得不等式(x-2022) 递增。 f八x-2022)>1成立的x的取值范围是 模型二：当x>0时，xf'(x)+nf八x)>0白 ( [)]'>0:f"()-a)>0a] A.(2021,+3）B.(-9,2021) .(2023,+）D.(-,2023) >0 ●群析构造函数g(x)=xfx),其中Y∈R,当x 证明：因为x”f'(x)+x-'f(x)=[x ≥0时，g'(x）=3xf八x)+xf'(x)=x[3fx）+ ,m-] '(x)]≥0，且(x)不恒为零，所以函数g(x) 所以xf'(x)+nf代x)>0,则函数y=x 在[0，+)上为增西数，g(-x)=(-x) x)单调递增；f"(x)-n)>0,则y=国八-)=-)=-g(),所以通数g()为R 上的奇函数，则该函数在(-，0]上也为增函 单调递增， 数，故函数g(x)在R上为增函数，因为代1)= 例D(2015·新课标Ⅱ)设函数/'(x)是奇函数i1,则g(1)=1)=1,由(x-2022)(x- f代x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0,当x12022)>1得g(￥-2022)>g(1),可得x-2022 >0时，xf'(x)-f(x）<0,则使得f八x) >1,解得x>2023.故选G >0成立的x的取值范围是 例3(2022·吉宁期*)函数八x)是定义在区 A.(-,-1)U(0,1) 间(0，+)上可导函数，其导函数为 B.(-1,0)U(1,+0) f'(x)且满足'(x)+2f八x)>0,则不等 C.(-x,-1)U(-1,0) D.(0,1)U(1,+) 式红+203+2023》<品的解集 5 I2空I■● 专题四抽象函数的导函数构造 为 C.f0)<3 D.f2)>3 A.xx>-2018 ●析令函数g(x)=(x+1)[f代x)-3] B.{x|-2023<x<-2018 图为f代x)+(x+1)f'(x)>3,所以g'(x)= C.{x0<x<2023 f(x)+(x+1)"(x)-3>0,所以g(x)在R上单 D.{xx<-2023 调通增，又g(-1）=0,所以当x∈(-%， ●解析根据题意，设g(x)=x代x),g'(x)=x[2!-1)时，g(x)<0.x+1<0,则爪x)-3>0, x)+x∫'(x)]:当>0时.2代x)+xf"(x)!故f-2)>3,A正确：又f代-1）的待号不确 >0,则有g'(x)>0,即g(x)在(0，+0）上单！定，B不正确：当x后(-1，+)时，(x)> 调递增，：+2023x+2023)<55) 10,x+1>0,则f八x)>3,故f(0)>3,f(2)> 5 x+2023→ i3,C不正确，D正确：故选AD (x+2023)2x+2023)<25/八5)→g(x+2023)< 模型四：反向构造借助积分模型： g(5),又由g(x)在(0，+)上单调递增，刷有 f'(x)+nf(x)>ar台[xf代x)]'>x”台 0<x+2023<5,解可得：-2023<x<-2018, 故选B, x到-arr>0e到-】 n+1'>0e 模型三：平移模型： x)- ①(x+a)f'(x)+f(x)>0白[(x+a)f(x)]' +1单调递增。 >0:c+af'()-x)>0e>0 ②(x+a)f'(x)+f八x)>b=I(x+a)(fx) ->0g->0 -b)1'>0;(x+a)f'(x)-fx)>b台 >0 x -n单调递 例4(2022·河北期*)定义在R上的可导函 例6(2022·长沙月考)设函数f(x)在R上的 数f(x),当xe(1,+)时，f(x)+ 导函数为f'(x),且2八x)+x∫'(x)>x, f'()<x'()恒成立，a=f2),6=2 则