专题19 导数的基础知识-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

!" １９ # x27LMNO ■■ ２２３　 ■ １９>Eabcd 8039+.8,)*/+.V+*9+* １．导数概念　ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ 理解起来，就是分子括号里的差要和分母完 全对称对应，如果不对称，那么配凑一下即可． 如：由于ｌｉｍ ｘ→ｘ０ ｆ（ｘ０）－ｆ（ｘ） ｘ０－ｘ ＝ｆ′（ｘ０），故ｌｉｍ Δｘ→０ ａ［ｆ（ｘ０）－ｆ（ｘ）］ ｂ（ｘ０－ｘ） ＝ａｂｆ′（ｘ０）； ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋ａΔｘ）－ｆ（ｘ０） ａΔｘ ＝ｆ′（ｘ０），故 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋ａΔｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ａｆ′（ｘ０）； ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋ａΔｘ）－ｆ（ｘ０） ａΔｘ ＝ｆ′（ｘ０），故 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋ａΔｘ）－ｆ（ｘ０） ｂΔｘ ＝ａｂｆ′（ｘ０）； ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋ａΔｘ）－ｆ（ｘ０－ｂΔｘ） （ａ＋ｂ）Δｘ ＝ｆ′（ｘ０）， 故 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋ａΔｘ）－ｆ（ｘ０－ｂΔｘ） Δｘ ＝（ａ＋ ｂ）ｆ′（ｘ０）； 设 函 数 ｆ（ｘ）在 ｘ０ 处 可 导，则 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０－Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ 等于 （　　） 　 　　　 　 　　　　 　 　　Ａ．ｆ′（ｘ０） Ｂ．ｆ′（－ｘ０） Ｃ．－ｆ′（ｘ０） Ｄ．－ｆ（－ｘ０） 由于ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０）－ｆ（ｘ０－Δｘ） Δｘ ＝ｆ′（ｘ０），故 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０－Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ＝－ｆ′（ｘ０），故选Ｃ． （２０２２·哈尔滨期末）已知 ｆ′（ｘ）是函数 ｆ（ｘ）的导函数，若 ｆ′（２）＝４，则ｌｉｍ ｘ→０ ｆ（２＋２ｘ）－ｆ（２） ｘ ＝ （　　） Ａ．４ Ｂ．２ Ｃ．８ Ｄ．－８ 根 据 题 意， 由 导 数 的 定 义 ｌｉｍ ｘ→０ ｆ（２＋２ｘ）－ｆ（２） ｘ ＝２ｌｉｍ２ｘ→０ ｆ（２＋２ｘ）－ｆ（２） ２ｘ ＝２ｆ′（２） ＝８，故选Ｃ． （２０２２·南阳期末）已知 ｆ（ｘ）是定义在 Ｒ 上的可导函数，若ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（３－Δｘ）－ｆ（３＋Δｘ） Δｘ ＝４，则ｆ′（３）＝ （　　） Ａ．０ Ｂ．－２ Ｃ．１ Ｄ．－１２ 由于ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（３－Δｘ）－ｆ（３＋Δｘ） （３－Δｘ）－（３＋Δｘ） ＝－１２ｌｉｍΔｘ→０ ｆ（３－Δｘ）－ｆ（３＋Δｘ） Δｘ ＝－２，则ｆ′（３）＝－２，故 选Ｂ． 已知函数 ｆ（ｘ）在 ｘ＝ｘ０处可导，则ｌｉｍ Δｘ→０ ［ｆ（ｘ０＋Δｘ）］ ２－［ｆ（ｘ０）］ ２ Δｘ ＝ （　　） Ａ．ｆ′（ｘ０） Ｂ．ｆ（ｘ０） Ｃ．［ｆ′（ｘ０）］ ２ Ｄ．２ｆ′（ｘ０）ｆ（ｘ０） ｌｉｍ Δｘ→０ ［ｆ（ｘ０＋Δｘ）］ ２－［ｆ（ｘ０）］ ２ Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ［ｆ（ｘ０＋Δｘ）＋ｆ（ｘ０）］［ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）］ Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ ［ｆ（ｘ０＋Δｘ）＋ｆ（ｘ０）］ｌｉｍ Δｘ→０ ［ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）］ Δｘ ＝ ｆ′（ｘ０）ｌｉｍΔｘ→０［ｆ（ｘ０＋Δｘ）＋ｆ（ｘ０）］，当 Δｘ→０ 时，ｆ（ｘ０＋Δｘ）＋ｆ（ｘ０）→２ｆ（ｘ０）， 所以 ｌｉｍ Δｘ→０ ［ｆ（ｘ０＋Δｘ）］ ２－［ｆ（ｘ０）］ ２ Δｘ ＝２ｆ′（ｘ０                               ） ■ ２２４　 ■  ｆ（ｘ０），故选Ｄ． ２．导数的运算 ｙ＝ｆ（ｘ） ｙ′＝ｆ′（ｘ） 示例 ｙ＝ｃ ｙ′＝０ ２′＝０，π′＝０ ｙ＝ｘｎ（ｎ∈Ｎ） ｙ′＝ｎｘ ｎ－１，ｎ为正 整数 （ｘ２）′ ＝ ２ｘ， （ｘ３）′＝３ｘ２，槡ｘ ＝ １ ２槡ｘ ｙ＝ａｘ ｙ′＝ａｘｌｎａ （ｅｘ）′＝ｅｘ ｙ＝ｌｏｇａｘ（ｘ＞０） ｙ′＝ １ ｘｌｎａ （ｌｎｘ）′＝ １ ｘ ｙ＝ｓｉｎｘ ｙ′＝ｃｏｓｘ ｙ＝ｃｏｓｘ ｙ′＝－ｓｉｎｘ （１）导数的四则运算法则： ①函数和（或差）的求导法则：设 ｆ（ｘ）， ｇ（ｘ）是可导的，则（ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ））′＝ｆ′（ｘ）±ｇ′ （ｘ），即两个函数的和（或差）的导数，等于这两 个函数的导数的和（或差）． ②函数积的求导法则：设 ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是可 导的，则［ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）］′＝ｆ′（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ） ｇ′（ｘ），即两个函数的积的导数，等于第一个函 数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上 第二个函数的导数． 由上述法则即可以得出［Ｃｆ（ｘ）］′＝Ｃｆ′（ｘ）， 即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的 导数． ③函数的商的求导法则：设 ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是 可 导 的， ｇ（ｘ） ≠ ０， 则 ｆ（ｘ）ｇ（ｘ[ ]）′ ＝ ｇ（ｘ）ｆ