专题18 齐次化斜率和积，点差法中点轨迹-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

!" １８ # n0opgqrsItXuIvw ■■ ２０５　 ■ １８…<†‡}ˆ‰Š[‹mŒ[Ž )*/*+.0P*,4.+,)*8*01/+0D0V+3128*012.*)* 　　上一讲提到了点差法将斜率进行和差转化， 再通过交叉相加或者相乘的形式得到两个对称式 进行作差，从而得到定点定值。本专题通过将定 点平移到原点，构造一个齐次的二次方程，将斜 率直接转化为方程的两个根，再用韦达定理轻松 破解，将坐标转化为斜率，本专题在处理斜率和 积问题时计算量是最小的，考试也是最好操作 的。在当下高考信息如此变通的时代，大家不要 去怀疑阅卷者的格局，齐次化只要把步骤交待清 楚，高考不会被扣分。斜率双用、齐次化、同构 式称为处理斜率问题的三神器，我们以为很多问 题难算，其实有一些关键条件被隐藏了，而且最 喜欢隐藏在斜率关系里，本专题值得好好深究。 !"ÞCßHà¾áß 模型一：点Ｐ（ｘ０，ｙ０）在圆锥曲线上 １．椭圆篇 已知点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）是椭圆上一个定点，椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）上有两动点Ａ、Ｂ （１）若直线 ｋＰＡ＋ｋＰＢ＝λ（λ≠０），则直线 ＡＢ 过定点 ｘ０－ ２ｙ０ λ ，－ｙ０－ ２ｘ０ｂ ２ λａ( )２ ；（２０１７·全 国一卷） （２）若直线ｋＰＡ＋ｋＰＢ＝０，则直线ＡＢ斜率为定 值 ｘ０ｂ ２ ｙ０ａ ２； （３）若直线 ｋＰＡ·ｋＰＢ＝λλ≠ ｂ２ ａ( )２ ，则直线 ＡＢ 过定点 λａ２＋ｂ２ λａ２－ｂ２ ｘ０，－ λａ２＋ｂ２ λａ２－ｂ２ ｙ( )０ ；（２０２０· 山东卷，全国一卷） （４）若直线 ｋＰＡ·ｋＰＢ＝ ｂ２ ａ２ ，则直线 ＡＢ斜率为 定值－ ｙ０ ｘ０ ； （５）当直线 ＡＢ过定点为原点时，则有 ｋＰＡ· ｋＰＢ＝－ ｂ２ ａ２ （第三定义）； 证明：将椭圆Ｃ按向量ＰＯ! ＝（－ｘ０，－ｙ０）平 移得椭圆Ｃ′： （ｘ＋ｘ０） ２ ａ２ ＋ （ｙ＋ｙ０） ２ ｂ２ ＝１，又点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）在椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１上，所以 ｘ２０ ａ２ ＋ ｙ２０ ｂ２ ＝１，代入上式得ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＋ ２ｘ０ ａ２ ｘ＋ ２ｙ０ ｂ２ ｙ＝０①． 椭圆Ｃ上的定点Ｐ（ｘ０，ｙ０）和动点Ａ，Ｂ分别 对应椭圆Ｃ′上的定点Ｏ和动点Ａ′，Ｂ′，设直 线Ａ′Ｂ′的方程为 ｍｘ＋ｎｙ＝１，代入①得：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＋ ２ｘ０ ａ２ ｘ＋ ２ｙ０ ｂ２( )ｙ（ｍｘ＋ｎｙ）＝０，当 ｘ≠０ 时，两 边 除 以 ｘ２ 得： １＋２ｙ０ｎ ｂ２ ｙ２ ｘ２ ＋ ２ｘ０ｎ ａ２ ＋ ２ｙ０ｍ ｂ( )２ ｙｘ＋１＋２ｘ０ｍａ２ ＝０ 因为点 Ａ′，Ｂ′的坐标满足这个方程，所以 ｋＯＡ′，ｋＯＢ′是这个关于 ｙ ｘ的方程的两个根． 注意：之所以将Ａ′Ｂ′的方程设为 ｍｘ＋ｎｙ＝１， 就是利用了乘一法，即乘除一个为一的式子， 能改变结构，但不改变结果．在三角函数当 中我们经常会将 ｍｓｉｎ２α＋ｎｃｏｓ２α转化为 ｍｓｉｎ２α＋ｎｃｏｓ２α ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α ＝ｍｔａｎ ２α＋ｎ ｔａｎ２α＋１ ，                               也是利用了齐 ■ ２０６　 ■  次化原理化弦为切． （１）若 ｋＰＡ＋ｋＰＢ＝λ（λ≠０），由平移性质知 ｋＯＡ′ ＋ ｋＯＢ′ ＝ λ， 所 以 ｋＯＡ′ ＋ ｋＯＢ′ ＝ －２ｂ２ｘ０ｎ－２ａ ２ｙ０ｍ ａ２（１＋２ｙ０ｎ） ＝λ，即 －２ｂ２ｘ０ｎ－２ａ ２ｙ０ｍ ＝λａ２ ＋２ａ２λｙ０ｎ，所以 － ２ｙ０ λ ｍ (－ ２ｂ ２ｘ０ λａ２ ＋ ２ｙ )０ ｎ＝１， (由此知点 －２ｙ０λ，－ ２ｂ２ｘ０ λａ２ －２ｙ )０ 在直线Ａ′Ｂ′：ｍｘ＋ｎｙ＝１上，从而直线ＡＢ过 定点 ｘ０－ ２ｙ０ λ ，－ ２ｂ２ｘ０ λａ２ －ｙ( )０ ． （２）依题意知直线ＰＡ，ＰＢ的倾斜角互补且斜 率存在，由平移性质知，直线 ＯＡ′，ＯＢ′的倾 斜角也互补且斜率存在，所以 ｋＯＡ′＋ｋＯＢ′＝０， 即 ２ｘ０ｎ ａ２ ＋ ２ｙ０ｍ ｂ２ ＝０，由此得ｋＡ′Ｂ′＝－ ｍ ｎ＝ ｘ０ｂ ２ ｙ０ａ ２． 所以ＡＢ的斜率为定值 ｘ０ｂ ２ ｙ０ａ ２ （３）若 ｋＰＡ·ｋＰＢ＝λ λ≠ ｂ２ ａ( )２ ，由平移性质知 ｋＯＡ′·ｋＯＢ′＝λ，所 ｋＯＡ′·ｋＯＢ′＝ ｂ２（１＋２ｘ０ｍ） ａ２（１＋２ｙ０ｎ） ＝ λ，即 ｂ２ ＋２ｂ２ｘ０ｍ＝λａ ２ ＋２ａ２λｙ０ｎ，所以 ２ｂ２ｘ０ λａ２－ｂ２ ｍ ＋ －２ａ２ｙ０λ λａ２－ｂ２ ｎ＝１， ( 由 此 知 点 ２ｂ２ｘ０ λａ２－ｂ２ ， －２ａ２ｙ