专题17 抛物线的特殊性质-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

!" １７ # kl^7bm?R ■■ １８９　 ■ １７‚tExƒMg „03^.P*018,_,9+.P*12V+* !"·¸µ%Íqœ() 如图１，已知ＡＢ是过抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０） 焦点Ｆ的弦，Ｍ是 ＡＢ的中点，ｌ是 ! 物线的准 线，ＭＮ⊥ｌ，Ｎ为垂足．其中Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２， ｙ２）． 图１ １．以ＡＢ为直径的圆必与准线ｌ相切 ２．ｘ１ｘ２＝ ｐ２ ４，ｙ１ｙ２＝－ｐ ２（重点） ３．ＦＮ⊥ＡＢ，ＦＣ⊥ＦＤ ４．设ＢＤ⊥ｌ，Ｄ为垂足，则 Ａ、Ｏ、Ｄ三点 在一条直线上 证明： １．过 Ａ作 ＡＣ垂直 ｌ，Ｃ为垂足． ＦＡ ＝ ＡＣ， ＦＢ ＝ ＢＤ， 在 梯 形 ＡＢＣＤ 中， ＭＮ ＝１２（ＡＣ ＋ ＢＤ）＝ １ ２（ＮＦ ＋ ＢＦ） ＝１２ ＡＢ，∠ＡＮＢ＝９０°，故以 ＡＢ为直径的圆 与准线ｌ相切． ２．设直线 ＡＢ的方程为 ｘ＝ｔｙ＋ｐ２与!物线 ｙ２＝２ｐｘ联立得：ｙ２＝２ｐｔｙ＋ｐ( )２ ，即 ｙ２－２ｐｔｙ－ ｐ２＝０，故ｙ１ｙ２＝－ｐ ２，ｘ１ｘ２＝ ｙ２１ ２ｐ ｙ２２ ２ｐ＝ ｐ２ ４． ３．在△ＡＣＮ与△ＡＦＮ中， ＡＮ ＝ ＡＮ， ＡＣ ＝ ＮＦ； 在 Ｒｔ△ＡＢＮ 中， ∠ＮＡＭ ＝∠ＡＮＭ， 又∠ＣＡＮ＝∠ＡＮＭ，则△ＡＣＮ△ＡＦＮ，所 以∠ＡＦＮ＝∠ＡＣＮ＝９０°，ＦＮ⊥ＡＢ 因为ＤＦ! ＝（ｐ， －ｙ２），ＣＦ ! ＝（ｐ， －ｙ１），所 以ＤＦ!·ＣＦ! ＝ｐ２＋ｙ１ｙ２＝０，所以ＦＣ⊥ＦＤ． ４．ｋＯＡ＝ ｙ１ ｘ１ ＝ ｙ１ ｙ２１ ２ｐ ＝２ｐｙ１ ，ｋＯＤ＝ ｙ２ －ｐ２ ＝－ ２ｙ２ ｐ＝ － ２ｐｙ２ ｐ２ ＝ ２ｐｙ２ ｙ１ｙ２ ＝２ｐｙ１ ，则Ａ、Ｏ、Ｄ三点共线，同理 Ｂ、Ｏ、Ｃ三点共线． ５．已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ的焦点为Ｆ，其准线 与ｘ轴的交点为Ｎ，过点Ｆ作直线与此 ! 物线交 于Ａ、Ｂ两点，若ＮＢ!·ＡＢ! ＝０，则有： ＮＦ － ＢＦ ＝２ｐ．如图２ 图２ 证明：解法一：联立（参考 ２式）可得： ｘＡｘＢ＝ ｐ２ ４ ｙＡｙＢ＝－ｐ { ２， ＮＦ － ＢＦ ＝ｘＡ－ｘＢ， 又ＮＢ!·ＦＡ! ＝（ｘＢ＋ ｐ ２，ｙＢ）·（ｘＡ－ ｐ ２，ｙＡ） ＝ｘＡｘＢ＋ ｐ ２（ｘＡ－ｘＢ）－ ｐ２ ４＋ｙＡｙＢ＝０，整理得：ｘＡ －ｘＢ＝２ｐ． 解法二：设直线 ＡＢ的倾斜角为 α，                               根据本 ■ １９０　 ■  章第一讲的焦长公式（考试自行推导）得： ＮＦ ＝ ｐ１－ｃｏｓα ， ＢＦ ＝ ｐ１＋ｃｏｓα ， 故 ＮＦ － ＢＦ ＝２ｐ·ｃｏｓα ｓｉｎ２α ，又 ＢＦ ＝ ＮＦｃｏｓα ＝ｐｃｏｓα＝ ｐ１＋ｃｏｓα ，即 ｃｏｓα ｓｉｎ２α ＝１，故 ＮＦ － ＢＦ ＝２ｐ·ｃｏｓα ｓｉｎ２α ＝２ｐ． （２０２２·乙卷）设Ｆ为 ! 物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ的 焦点，点 Ａ在 Ｃ上，点 Ｂ（３，０），若 ＮＦ ＝ ＢＦ，则 ＡＢ ＝ （　　） 　 　　　 　 　　　　 　 　　Ａ．２ Ｂ．２槡２ Ｃ．３ Ｄ．３槡２ Ｆ为抛物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ的焦点（１，０），点 Ａ在Ｃ上，点Ｂ（３，０）， ＮＦ ＝ ＢＦ ＝２，由抛 物线的定义可知 Ａ（１，２）（不妨设 Ａ在第一象 限），所以 ＡＢ ＝ （３－１）２＋（－２）槡 ２ ＝２槡２． 故选Ｂ． （２０２０·北京）设抛物线的顶点为Ｏ，焦点 为Ｆ，准线为 ｌ．Ｐ是抛物线上异于 Ｏ的 一点，过Ｐ作ＰＱ⊥ｌ于 Ｑ，则线段 ＦＱ的 垂直平分线 （　　） Ａ．经过点Ｏ Ｂ．经过点Ｐ Ｃ．平行于直线ＯＰ Ｄ．垂直于直线ＯＰ 解法一：不妨设抛物线的方程为 ｙ２＝４ｘ， 则Ｆ（１，０），准线 ｌ为 ｘ＝－１，不妨设 Ｐ（１， ２），则Ｑ（－１，２），设准线 ｌ与 ｘ轴交点为 Ａ， 则Ａ（－１，０），可得四边形ＱＡＦＰ为正方形，根 据正方形的对角线互相垂直，故可得线段 ＦＱ的 垂直平分线经过点Ｐ， 解法二：由抛物线的定义知， ＰＦ ＝ ＰＱ，所 以△ＰＱＦ为等腰三角形，且 ＦＱ为等腰三角形 ＰＱＦ的底边，所以线段ＦＱ的垂直平分线经过点 Ｐ．故选Ｂ． （２０２２·多选·新高考 Ｉ）已知 Ｏ为坐标原 点，点Ａ（１，１）在抛物线Ｃ：ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞ ０）上，过点Ｂ（０， －１）的直线交 Ｃ于 Ｐ， Ｑ两点，则 （　　） Ａ．Ｃ的准线为ｙ＝－１ Ｂ．直线ＡＢ与Ｃ相切 Ｃ． ＯＰ· ＯＱ ＞ ＯＡ２ Ｄ． ＢＰ· ＢＱ ＞ ＢＡ２ Ｃ的准线为 ｙ＝－ｐ２，即 ｙ＝－ １ ４，Ａ 错误； 直线ＡＢ的方程为 ｙ＝２ｘ－１，与 ｙ＝ｘ２联立得 ｘ２ －２ｘ＋１＝０，显然Δ＝０，相切，Ｂ正确， 联立 ｙ＝ｋｘ－１ ｙ