专题15 比值与离心率-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

■ １６２　 ■  １５~#{|} :*V+*-.4*P*14. !"ÍqÎÈɵϵÐÑ%ÒÓŔ,”» 　　　 图１　　　　　　　图２ ①如图１所示，当离心率 ｅ＝槡２时，过焦点 作渐近线垂线，则不会形成直角三角形； ②如图２所示，当离心率 ｅ＞槡２时，过焦点 Ｆ２作渐近线 ｌ１垂线 ＭＮ（ｋＭＮ＜０），会交 ｌ２于第 二象限点Ｎ，令ＮＭ! ＝λＭＦ２ ! ，则双曲线离心率为 ｅ＝槡２· λ＋１ 槡λ ； 证明：作 Ｆ２Ｐ⊥ ｌ２ 于 Ｐ，易知 ＯＭ ＝ ＯＰ ＝ａ， Ｆ２Ｍ ＝ Ｆ２Ｐ ＝ｂ，△ＯＭＮ∽ △Ｆ２ＰＮ，则 ＯＮ Ｆ２Ｎ ＝ ＯＭＦ２Ｐ ，可知： ＯＮ ＝（１ ＋λ）ａ，根据勾股定理 ＯＭ ２＋ ＭＮ ２＝ ＯＮ ２， 即 ｂ２ ａ２ ＝λ＋２ λ ，故ｅ２＝１＋ｂ ２ ａ２ ＝２λ＋２ λ ，所以ｅ＝槡２ · λ＋１ 槡λ ． ③如图３所示，当离心率 ｅ＜槡２时，过焦点 Ｆ２作渐近线 ｌ１垂线 ＭＮ（ｋＭＮ＜０），会交 ｌ２于第 四象限点 Ｎ，令ＮＦ２ ! ＝λＦ２Ｍ ! ，则双曲线离心率 为ｅ＝槡２· λ λ槡＋１ ； 图３ 证明：作 Ｆ２Ｐ⊥ ｌ２ 于 Ｐ，易知 ＯＭ ＝ ＯＰ ＝ａ， Ｆ２Ｍ ＝ Ｆ２Ｐ ＝ｂ，△ＯＭＮ∽ △Ｆ２ＰＮ，则 ＯＮ Ｆ２Ｎ ＝ ＯＭＦ２Ｐ ，可知： ＯＮ ＝λａ， 根据勾股定理 ＯＭ ２＋ ＭＮ ２＝ ＯＮ ２，即ｂ ２ ａ２ ＝ λ－１ λ＋１ ，故 ｅ２ ＝１＋ｂ ２ ａ２ ＝ ２λ λ＋１ ，所以 ｅ＝槡２ · λ λ槡＋１ ． 总结：一切源于直角三角形相似，需要作辅 助线构造，其实结论很好理解记忆，就是ｅ与槡２ 比大小，大于槡２就是ｅ＝槡２ λ＋１ 槡λ ，小于槡２就是 ｅ＝槡２· λ λ槡＋１ ． （２０１８·新课标Ⅰ）已知双曲线 Ｃ：ｘ ２ ３－ｙ ２ ＝１，Ｏ为坐标原点，Ｆ为 Ｃ的右焦点， 过Ｆ的直线与Ｃ的两条渐近线的交点分别 为 Ｍ，Ｎ．若△ＯＭＮ为直角三角形，则 ＭＮ ＝ （　　） Ａ．３２ Ｂ．３ Ｃ．２槡３ Ｄ．４ 双曲线Ｃ：ｘ ２ ３－ｙ ２＝１的渐近线方程为：ｙ ＝±槡３３ｘ，渐近线的夹角为６０ °． 解法一：不妨设过Ｆ（２，０）的直线为ｙ＝－槡３（ｘ－ ２），联立 ｙ＝槡３３ｘ ｙ＝－槡３（ｘ－２ { ） ，解得Ｍ ３ ２， 槡３( )２                               ， !" １５ # hi&efg ■■ １６３　 ■ 联立 ｙ＝－槡３３ｘ ｙ＝－槡３（ｘ－２ { ） ，解得 Ｎ（３， －槡３），则 ＭＮ ＝ ３－３( )２ ２ ＋ 槡３＋槡 ３( )２槡 ２ ＝３． 解法二：因为 ｅ＜槡２，如图 ４所示，则 ＭＦ ＝ ＰＦ ＝１， ＦＮ ＝２ＰＦ ＝２，所以 ＭＮ ＝３， 故选Ｂ． 图４ （２０２２·宛城区月考）已知双曲线Ｃ：ｘ ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右焦点为 Ｆ，过点 Ｆ作双曲线 Ｃ的一条渐近线的垂线 ｌ，垂 足为Ｍ．若直线ｌ与双曲线 Ｃ的另一条渐 近线交于点 Ｎ，且满足ＯＮ! ＋４ＯＭ! ＝５ＯＦ! （Ｏ为坐标原点），则双曲线Ｃ的离心率为 （　　） Ａ．２槡１０５ Ｂ． 槡６ ２ Ｃ．２槡３３ Ｄ． ２槡５ ３ 图５ 如图５，双曲线右焦点 Ｆ（ｃ，０）到渐近线 的距离为 ｂ，在△ＯＭＦ中， ＭＦ ＝ｂ， ＯＦ ＝ ｃ，所以 ＯＭ ＝ａ，因为ＯＮ! ＋４ＯＭ! ＝５ＯＦ!，所以 ＮＦ! ＝４ＦＭ!，所以 ＮＦ ＝４ｂ，所以 ＭＮ ＝５ｂ， Ｒｔ△ＯＭＮ～Ｒｔ△ＦＰＮ，所以 ５ｂＰＮ ＝ ａ ｂ＝ ＯＮ ４ｂ， 所以 ＯＮ ＝４ａ， ＰＮ ＝４ａ－ａ＝３ａ，即 ３ａ２＝ ５ｂ２，即ｂ ２ ａ２ ＝３５，所以 ｅ＝ １＋ ｂ２ ａ槡 ２ ＝２槡１０５ ．故 选Ａ． （２０２２·上虞区期末）过双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）右焦点 Ｆ作双曲线一条渐 近线的垂线，垂足为 Ａ，与另一条渐近线 交于点 Ｂ，若 ＮＦ ＝１２ ＦＢ，则双曲线 Ｃ的离心率为 （　　） Ａ．２槡３３或槡３ Ｂ．２或槡３ Ｃ．槡３或２槡３ Ｄ．２或 ２槡３ ３ 　 　　　 　　图６　　　　　　　　　图７　　 本题分两种情况，第一种就是一四象限类 型，如图６所示，构造 Ｒｔ△ＯＡＢ∽Ｒｔ△ＦＰＢ，所 以 ＡＢ ＰＢ ＝ ａ ｂ＝ ＯＢ ＦＢ，所以 ＯＢ ＝２ａ， ＰＢ ＝ ２ａ－ａ＝ａ，即 ａ２＝３ｂ２，即ｂ ２ ａ２ ＝１３，所以 ｅ＝ １＋ｂ ２ ａ槡 ２ ＝２槡３３． 第二种就是一二象限类型，如图７所示，构造Ｒｔ △ＯＡＢ～Ｒｔ△ＦＰＢ，所以 ＡＢＰＢ ＝ ａ ｂ＝ ＯＢ ＦＢ，所 以 ＯＢ ＝２ａ， ＰＢ ＝２ａ＋ａ＝