专题13 圆锥曲线三定义-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

!" １３ # [\]^:_`a ■■ １３７　 ■ １３qrstHuvw -.01V+.*Q.P*019012,8*12-* !"±²³´µ%¶!Rz 一、椭圆第一定义关于“和” 平面内与两个定点 Ｆ１、Ｆ２的距离的和等于 常数２ａ（２ａ大于 Ｆ１Ｆ２ ）的点的轨迹；其中，两 个定点称做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做 焦距． 设Ｍ（ｘ，ｙ）是椭圆上任意一点，焦点Ｆ１（－ｃ， ０）和 Ｆ２（ｃ，０），由上述椭圆的定义可得： （ｘ＋ｃ）２＋ｙ槡 ２＋ （ｘ－ｃ）２＋ｙ槡 ２＝２ａ，将这个方程 移项，两边平方得：ａ２－ｃｘ＝ａ （ｘ－ｃ）２＋ｙ槡 ２，两 边再平方，整理得： ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０ 注意： １．椭圆的标准方程： ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０中心在原点，焦点 在ｘ轴上； ｙ２ ａ２ ＋ｘ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０中心在原点，焦点 在ｙ轴上          ． 后面我们仅以 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０展开性质 介绍分析． ２．顶点Ａ１（－ａ，０），Ａ２（ａ，０），Ｂ１（０，－ ｂ），Ｂ２（０，ｂ）． ３．长轴和短轴：长轴为２ａ，短轴为２ｂ，注 意区分长半轴为ａ，短半轴为ｂ． ４．焦点：Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０）． ５．焦距： Ｆ１Ｆ２ ＝２ｃ（ｃ＞０），同时：ｃ ２＝ ａ２－ｂ２． ６．离心率：ｅ＝ｃａ ０＜ｅ( )＜１；离心率越大， 椭圆越扁． 椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重 要数据．因为ａ＞ｃ＞０，所以 ｅ的取值范围是０ ＜ｅ＜１； ①ｅ越接近 １，则 ｃ就越接近 ａ，从而 ｂ＝ ａ２－ｃ槡 ２越小，因此椭圆越扁； ②ｅ越接近于０，ｃ就越接近０，从而 ｂ越接 近于ａ，这时椭圆就越接近于圆． 焦点弦：若过焦点的直线与椭圆相交于两 点Ａ和Ｂ，∠ＡＦ１Ｆ２为α，则称线段 ＡＢ为焦点弦． ①如图， ＡＦ１ ＝ ｂ２ ａ－ｃｃｏｓα ； ＢＦ１ ＝ ｂ２ ａ＋ｃｃｏｓα ； 当焦点弦过左焦点时，焦点弦的长度 ＡＢ ＝ ２ａｂ２ ａ２－ｃ２ｃｏｓ２α ＝ ２ａｂ ２ ｂ２＋ｃ２ｓｉｎ２α ；当焦点弦过右焦点 时，有 ＡＢ ＝ ２ａｂ ２ ａ２－ｃ２ｃｏｓ２α ＝ ２ａｂ ２ ｂ２＋ｃ２ｓｉｎ２α ． ②过椭圆焦点的所有弦中通径（过焦点垂直 于焦点所在的弦）最短，通径为２ｅｐ＝２ｂ ２ ａ（ｐ为焦 准距）． ③４ａ体：过椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０的左 焦点Ｆ１的弦ＡＢ与右焦点Ｆ２围成的△ＡＢＦ２的周 长是４ａ； 证明：（１）如图所示， ＡＦ１ ＋ ＡＦ２ ＝２ａ； ＢＦ１ ＋ ＢＦ２ ＝ ２ａ， 故 ＡＢ ＋ ＡＦ２ ＋ ＢＦ２ ＝４ａ； （２）设 ＡＦ１ ＝ｍ； ＢＦ１ ＝ｎ； ＡＦ２ ＝２ａ－ ｍ； ＢＦ２ ＝２ａ－ｎ；由余弦定理得 ｍ ２＋ ２( )ｃ２                               － ■ １３８　 ■  ２ａ－( )ｍ ２ ＝ ２ｍ · ２( )ｃ ｃｏｓα； 整 理 得 ＡＦ１ ＝ ｂ２ ａ－ｃｃｏｓα 同理：ｎ２＋ ２( )ｃ２－ ２ａ－( )ｎ２＝２ｎ· ２( )ｃｃｏｓ １８０°－( )α；整理得 ＢＦ１ ＝ ｂ２ ａ＋ｃｃｏｓα 两式相加得，则过焦点的弦长： ＡＢ ＝ｍ＋ ｎ＝ ２ａｂ ２ ａ２－ｃ２ｃｏｓ２α ＝ ２ａｂ ２ ｂ２＋ｃ２ｓｉｎ２α 二、双曲线第一定义关于“差” 平面内与两个定点 Ｆ１、Ｆ２的距离的差的绝 对值等于常数且小于 Ｆ１Ｆ２ 的点的轨迹；其中， 两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做 焦距． 注意： ＰＦ１ － ＰＦ２ ＝２ａ与 ＰＦ２ － ＰＦ１ ＝２ａ（ａ＞０）分别表示双曲线的一支．若有 “绝对值”，点的轨迹表示双曲线的两支；若无 “绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的一支； 根 据 ｘ＋( )ｃ２＋ｙ槡 ２－ ｘ－( )ｃ２＋ｙ槡 ２ ＝ ２ａ，化简得：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ，ｂ( )＞０． 注意：１．双曲线的标准方程： ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ，ｂ( )＞０中心在原点，焦点 在ｘ轴上； ｙ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１ａ，ｂ( )＞０中心在原点，焦点 在ｙ轴上          ． ２．顶点：Ａ１（－ａ，０），Ａ２（ａ，０）． ３．实轴和虚轴：实轴长为 ２ａ，虚轴长 为２ｂ； ４．焦点：Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０）． ５．焦距： Ｆ１Ｆ２ ＝２ｃ（ｃ＞０），满足关系式： ｃ２＝ａ２＋ｂ２． ６．离心率：ｅ＝ｃａ ｅ( )＞１，离心率越大，开 口越大； ７．焦点弦问题：双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２