专题12 ω函数卡根法模型-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

!" １２ # ω12VWXYZ ■■ １２７　 ■ １２ω=>klmno +019+.p02,1D0U3P*12 !" Ａ ¬ω，φLFGｙ­Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）ˆ‰%®¯ １．φ对ｙ＝ｓｉｎ（ｘ＋φ），ｘ∈Ｒ图象的影响 ２．ω（ω＞０）对ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）图象的影响 ３．Ａ（Ａ＞０）对ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）图象的影响 ４．函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象可以通过下列两 种方式得到： （１）ｙ＝ｓｉｎｘ 图象左移 → φ ｙ＝ｓｉｎ（ｘ＋φ） 横坐标缩短到原来的 １ ω → 倍 ｙ ＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ） 纵坐标伸长为原来的Ａ → 倍 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ） （２）ｙ＝ｓｉｎｘ 横坐标缩短到原来的 １ ω → 倍 ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ） 图象左移 φ → ω ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ） 纵坐标伸长为原来的Ａ → 倍 ｙ ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ） 关键：把握先移后缩和先缩后移的区别。类 比可以得到：ｙ＝Ａｃｏｓ（ωｘ＋φ），ｙ＝Ａｔａｎ（ωｘ＋ φ）的图象． 定理：ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ１）→ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ２） 则平移单位为 φ２－φ１ ω （注意平移方向）． （２０２２·浙江）为了得到函数 ｙ＝２ｓｉｎ３ｘ的 图象，只要把函数 ｙ＝２ｓｉｎ３ｘ＋π( )５ 图象 上所有的点 （　　） 　 　　　　　　　　　　　Ａ．向左平移π５个单位长度 Ｂ．向右平移π５个单位长度 Ｃ．向左平移π１５个单位长度 Ｄ．向右平移π１５个单位长度 把ｙ＝２ｓｉｎ３ｘ＋π( )５ 图象上所有的点向右 平移 π １５个单位可得 ｙ＝２ｓｉｎ３ ｘ－π( )１５ ＋π[ ]５ ＝ ２ｓｉｎ３ｘ的图象．故选Ｄ． （２０２２· 甲 卷）将 函 数 ｆ（ｘ） ＝ｓｉｎ ωｘ＋π( )３ （ω＞０）的图象向左平移π２个单 位长度后得到曲线 Ｃ，若 Ｃ关于 ｙ轴对 称，则ω的最小值是 （　　） Ａ．１６ Ｂ． １ ４ Ｃ． １ ３ Ｄ． １ ２ 由于函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎωｘ＋π( )３ （ω＞０）的 图象向左平移 π ２个单位长度后得到曲线 Ｃ，且 Ｃ关于 ｙ轴对称，故我们可以理解为 ｆ( )ｘ 关于 直线 ｘ＝π２ 对称，所以 ｘ＝ ｋπ＋π２－φ ω ＝ ｋπ＋π２－ π ３ ω ＝π２（ｋ∈Ｚ），即 ω＝２ｋ＋ １ ３，ｋ                               ∈ ■ １２８　 ■  Ｚ，则令 ｋ＝０，可得 ω的最小值是 １３，故选Ｃ． （２０２１·乙卷）把函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象上所有 点的横坐标缩短到原来的 １ ２倍，纵坐标不 变，再把所得曲线向右平移 π ３个单位长 度，得到函数 ｙ＝ｓｉｎｘ－π( )４ 的图象，则 ｆ（ｘ）＝ （　　） Ａ．ｓｉｎ ｘ２－ ７π( )１２ Ｂ．ｓｉｎ ｘ２＋π( )１２ Ｃ．ｓｉｎ２ｘ－７π( )１２ Ｄ．ｓｉｎ２ｘ＋π( )１２ 因为把函数ｙ＝ｆ（ｘ）图像上所有点的横坐 标缩短到原来的 １ ２倍，纵坐标不变，再把所得曲 线向右平移 π ３个单位长度，得到函数 ｙ＝ｓｉｎ ｘ－π( )４ 的图象，所以把函数ｙ＝ｓｉｎｘ－π( )４ 的图 象，向左平移 π ３个单位长度，得到 ｙ＝ｓｉｎ ｘ＋π３－ π( )４ (＝ｓｉｎ ｘ＋π )１２ 的图象；再把图象上 所有点的横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变， 可得 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ １２ｘ＋ π( )１２的图象．故选Ｂ． （２０１７·新课标Ⅰ）已知曲线Ｃ１：ｙ＝ｃｏｓｘ， Ｃ２：ｙ＝ｓｉｎ２ｘ＋ ２π( )３ ，则下面结论正确的 是 （　　） Ａ．把Ｃ１上各点的横坐标伸长到原来的２ 倍，再把得到的曲线向右平移 π ６个单 位长度，得到曲线Ｃ２ Ｂ．把Ｃ１上各点的横坐标伸长到原来的２ 倍，再把得到的曲线向左平移 π １２个单 位长度，得到曲线Ｃ２ Ｃ．把Ｃ１上各点的横坐标缩短到原来的 １ ２，再把得到的曲线向右平移 π ６个单 位长度，得到曲线Ｃ２ Ｄ．把Ｃ１上各点的横坐标缩短到原来的 １ ２，再把得到的曲线向左平移 π １２个单 位长度，得到曲线Ｃ２ 曲线Ｃ２：ｙ＝ｓｉｎ２ｘ＋ ２π( )３ ＝ｃｏｓ２ｘ＋π( )６ ， 把Ｃ１：ｙ＝ｃｏｓｘ上各点的横坐标缩短到原来的 １ ２，纵坐标不变，可得 ｙ＝ｃｏｓ２ｘ的图象；再把 得到的曲线向左平移 π １２个单位长度，可以得到曲 线 Ｃ２：ｙ＝ｃｏｓ２ｘ＋ π( )６ ＝ｓｉｎ２ｘ＋２π( )３ 的图象， 故选Ｄ． *"ωFGy`a©vrZqay` 卡根分两种，一是五点法卡根，二是周期卡 根，区别就在于卡根的区间（ａ，ｂ）或者［ａ，ｂ］ 是否包含０