专题11 三角恒等变换-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

!" １１ # :KS,TU ■■ １１３　 ■ １１H`h5ij 901)*03+,128,12:*01+.01 !"s”Ÿ%š$ 两角和与差的余弦公式：ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ ＋ｓｉｎαｓｉｎβ ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ 两角和与差的正弦公式：ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ ＋ｃｏｓαｓｉｎβ ｓｉｎ（α－β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ 两角和与差的正切公式ｔａｎ（α＋β）＝ｔａｎα＋ｔａｎβ１－ｔａｎαｔａｎβ （α，β，α＋β≠ｋπ＋π２（ｋ∈Ｚ）） ｔａｎ（α－β）＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎαｔａｎβ （α，β，α－β≠ｋπ＋π２ （ｋ∈Ｚ）） *"* ”š$ ,"¡”š$ ｓｉｎα２＝± １－ｃｏｓα 槡 ２ ，　ｃｏｓα２＝± １＋ｃｏｓα 槡 ２ ， ｔａｎα２＝± １－ｃｏｓα １＋ｃｏｓ槡 α ＝ ｓｉｎα１＋ｃｏｓα ＝１－ｃｏｓαｓｉｎα ． T"¢£”š$ 第一类：一次辅助角：ｆ( )ｘ＝ａｓｉｎｘ±ｂｃｏｓｘ ｆ( )ｘ＝ａｓｉｎｘ±ｂｃｏｓｘ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ｓｉｎ（ｘ±φ (） 辅助 角φ由点（ａ，ｂ）决定，ｔａｎφ＝ｂ)ａ ． 例如：ｓｉｎα±ｃｏｓα＝ １２＋１槡 ２ｓｉｎ（α±φ）＝槡２ ｓｉｎα±π( )４ ｓｉｎα±槡３ｃｏｓα＝ １ ２＋ 槡( )３槡 ２ｓｉｎ（α±φ）＝２ｓｉｎ α±π( )３ ，槡３ｓｉｎα±ｃｏｓα＝２ｓｉｎα±π( )６ 第二类：二次辅助角： ｆ( )ｘ＝ａｓｉｎωｘｃｏｓωｘ±ｂｃｏｓ２ωｘａ，ｂ( )＞０ ｆ( )ｘ＝ａ２ｓｉｎ２ωｘ± ｂ ２ ｃｏｓ２ωｘ( )＋１ ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ２ ｓｉｎ２ωｘ±( )φ ±ｂ２ ｔａｎφ＝ ｂ( )ａ 若遇到ｓｉｎ２α，则通过公式ｓｉｎ２α＝１－ｃｏｓ２α 转化成ｃｏｓ２α 注意：（１）ｃｏｓ４α－ｓｉｎ４α＝（ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α） （ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α）＝ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１ （２）２ｓｉｎ２ α±π( )４ ＝ ｓｉｎα±ｃｏｓ( )α２ ＝１ ±２ｓｉｎαｃｏｓα （２０２１·乙卷）函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ３＋ｃｏｓ ｘ ３ 的最小正周期和最大值分别是 （　　） 　 　　　 　 　　　　 　 　　Ａ．３π和槡２ Ｂ．３π和２ Ｃ．６π和槡２ Ｄ．６π和２ 因为 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ３＋ｃｏｓ ｘ ３＝槡 (２ｓｉｎ ｘ３＋ π )４ ，所以Ｔ＝２π１ ３ ＝６π． 当ｓｉｎ ｘ３＋ π( )４ ＝１时，函数 ｆ（ｘ）取得最大值槡２                               ； ■ １１４　 ■  所以函数 ｆ（ｘ）的周期为６π，最大值槡２．故选Ｃ． （２０２１·乙卷）ｃｏｓ２π１２－ｃｏｓ ２５π １２＝ （　　） Ａ．１２ Ｂ． 槡３ ３ Ｃ．槡２２ Ｄ． 槡３ ２ ｃｏｓ２ π１２－ｃｏｓ ２５π １２＝ｃｏｓ ２ π １２－ｓｉｎ ２ π １２＝ｃｏｓ π ６＝ 槡３ ２．故选Ｄ． （２０２２·新高考Ⅱ）若 ｓｉｎ（α＋β）＋ｃｏｓ（α ＋β）＝２槡２ｃｏｓα＋ π( )４ ｓｉｎβ，则 （　　） Ａ．ｔａｎ（α－β）＝１ Ｂ．ｔａｎ（α＋β）＝１ Ｃ．ｔａｎ（α－β）＝－１Ｄ．ｔａｎ（α＋β）＝－１ 解法一：因为ｓｉｎ（α＋β）＋ｃｏｓ（α＋β）＝２ 槡２ｃｏｓα＋ π( )４ ｓｉｎβ， 所以槡２ｓｉｎα＋β＋ π( )４ ＝２槡２ｃｏｓα＋π( )４ ｓｉｎβ，即 ｓｉｎα＋β＋π( )４ ＝２ｃｏｓα＋π( )４ ｓｉｎβ， 所以 ｓｉｎ α＋π( )４ ｃｏｓβ＋ｓｉｎβｃｏｓα＋π( )４ ＝２ｃｏｓ α＋π( )４ ｓｉｎβ，所以 ｓｉｎ α＋π( )４ ｃｏｓβ－ｓｉｎβｃｏｓ α＋π( )４ ＝０， 所以ｓｉｎα＋π４－( )β＝０，所以α＋π４－β＝ｋπ，ｋ ∈Ｚ，所以 α－β＝ｋπ－π４，所以 ｔａｎ（α－β）＝ －１． 解法二：由题意可得，ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＋ ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ＝２（ｃｏｓα－ｓｉｎα）ｓｉｎβ， 即ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ＋ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ＝０， 所以ｓｉｎ（α－β）＋ｃｏｓ（α－β）＝０，故 ｔａｎ（α－β） ＝－１．故选Ｃ． （２０２１·全国）函数 ｙ＝ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ图 象的对称轴是 （　　） Ａ．ｘ＝ｋπ２＋ π ８（ｋ∈Ｚ） Ｂ．ｘ＝ｋπ２－ π ８（ｋ∈Ｚ） Ｃ．ｘ＝ｋπ＋π４（ｋ∈Ｚ） Ｄ．ｘ＝ｋπ－π４（ｋ∈Ｚ） ｙ＝ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝１＋ｃｏｓ２ｘ２ ＋ １ ２ｓｉｎ２ｘ＝ １ ２（ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏ