专题10 三角函数图像与性质-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

!" １０ # :K12PQ&?R ■■ １０５　 ■ １０H`=>ef#Mg 901)*03+019+._.P*012-.P*12V+* !"›œFGHœFG%ˆ‰ １．正弦曲线的定义 （１）正弦函数 ｙ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈Ｒ的图象叫正弦 曲线． 　 （２）五点法： ①画出正弦曲线在［０，２π］上的图象的五个关 键点 （０，０）， π２，( ]１，（π，０ (）， ３π２， )－１ ，（２π，０），用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动 ２π个单 位长度． ２．余弦曲线的定义 （１）余弦函数 ｙ＝ｃｏｓｘ，ｘ∈Ｒ的图象叫余弦 曲线． 　 （２）要得到ｙ＝ｃｏｓｘ的图象，只需把 ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象向左平移 π ２个单位长度即可，这是由 于ｃｏｓｘ＝ｓｉｎｘ＋π( )２ ． （３）用“五点法”：画余弦曲线ｙ＝ｃｏｓｘ在［０， ２π］上的图象时，所取的五个关键点分别为 （０，１）， π２，( )０，（π， －１）， ３π２，( )０， （２π，１），再用光滑的曲线连接． ３．正弦、余弦函数的周期性 正弦函数ｙ＝ｓｉｎｘ（ｘ∈Ｒ）和余弦函数ｙ＝ｃｏｓｘ （ｘ∈Ｒ）都是周期函数，２ｋπ（ｋ∈Ｚ，且ｋ≠０） 都是它们的周期．最小正周期为２π． ４．正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． ５．正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数 余弦函数 定义域 Ｒ Ｒ 值域 ［－１，１］ ［－１，１］ 单调性 [在 ２ｋπ － π２，２ｋπ ＋ π ]２ （ｋ∈Ｚ）上单调递增， [在 ２ｋπ ＋ π２，２ｋπ ＋ ３π]２ （ｋ∈Ｚ）上单调递减 在［２ｋπ－π，２ｋπ］（ｋ ∈Ｚ）上单调递增， 在［２ｋπ，２ｋπ＋π］（ｋ ∈Ｚ）上单调递减 最值 ｘ＝π２＋２ｋπ（ｋ∈Ｚ）时， ｙｍａｘ＝１； ｘ＝－π２ ＋２ｋπ（ｋ∈Ｚ） 时，ｙｍｉｎ＝－１ ｘ＝２ｋπ（ｋ∈Ｚ）时， ｙｍａｘ＝１； ｘ＝２ｋπ＋π（ｋ∈Ｚ） 时，ｙｍｉｎ＝－１ （多选）下列叙述正确的个数为 （　　） ①ｙ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈［０，２π］的图象关于点 Ｐ（π，０）成中心对称； ②ｙ＝ｃｏｓｘ，ｘ∈［０，２π］的图象关于直线 ｘ＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线 ｙ＝１ 和ｙ＝－１所夹的范围． 　 　　　 　 　　　　 　 　　Ａ．０ Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个 分别画出函数ｙ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈［０，２π］和 ｙ ＝ｃｏｓｘ，ｘ∈［０，２π］的图象，由图象（略）观察 可知①②③均正确．故选Ｄ． 函数ｙ＝ｓｉｎ ｘ的图象是 （　　                               ） ■ １０６　 ■  ｙ＝ｓｉｎ ｘ＝ ｓｉｎｘ，ｘ≥０， －ｓｉｎｘ，ｘ＜０{ ，结合选项可 知选Ｂ．故选Ｂ． 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足 下列条件的ｘ的集合． （１）ｓｉｎｘ≥１２；（２）ｃｏｓｘ≤ １ ２． （１）作出正弦函数 ｙ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈［０，２π］ 的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的 ｘ的集合为 ２ｋπ＋π６，２ｋπ＋ ５π[ ]６ ，ｋ∈Ｚ． （２）作出余弦函数 ｙ＝ｃｏｓｘ，ｘ∈［０，２π］的图 象，如图所示，由图象可以得到满足条件的 ｘ的 集合为 ２ｋπ＋π３，２ｋπ＋ ５π[ ]３ ，ｋ∈Ｚ． *"›œFG ｙ＝ｓｉｎｘ H ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（ω＞０）%ˆ‰()NO ｙ＝ｓｉｎｘ ｙ＝Ａｓｉｎωｘ＋( )φ 周期 ２π ２πω 定义域 Ｒ Ｒ 最大值 １，ｘ＝２ｋπ＋π２取得 Ａ， 当 ｘ ＝ ２ｋπ＋π２－φ ω 取得 续表 ｙ＝ｓｉｎｘ ｙ＝Ａｓｉｎωｘ＋( )φ 最小值 －１，当ｘ＝２ｋπ＋３π２取得 － Ａ，当 ｘ ＝ ２ｋπ＋３π２－φ ω 取得 单调 增区间 ２ｋπ－π２，２ｋπ＋ π[ ] [ ２ ２ｋπ－π２－φ ω ， ２ｋπ＋π２－φ]ω 单调 [ 减区间 ２ｋπ＋π２，２ｋπ＋ ３π] [ ２ ２ｋπ＋π２－φ ω ， ２ｋπ＋３π２－φ]ω 对称轴 ｘ＝ｋπ＋π２ ｘ＝ ｋπ＋π２－φ ω 对称中心 ｋπ，( )０ ｋπ－φω ，( )０ 　　类比于研究ｙ＝ｓｉｎｘ的性质，只需将ｙ＝Ａｓｉｎ ωｘ＋( )φ中的ωｘ＋φ看成 ｙ＝ｓｉｎｘ中的 ｘ，但在 求ｙ＝Ａｓｉｎωｘ＋( )φ的单调区间时，要特别注意Ａ 和ω的符号，通过诱导公式先将 ω化为正数． 研究函数 ｙ＝Ａｃｏｓωｘ＋( )φ，ｙ＝Ａｔａｎωｘ＋( )φ的 性质的方法与其类似，也是类比、转化． 函数ｙ＝２ｓｉｎ３ｘ＋π( )６ ，ｘ∈Ｒ的最小正周 期是 （　　） Ａ．π３ Ｂ． ２π ３ Ｃ．３π２ Ｄ．π Ｔ＝２π ω ＝２π３，故选Ｂ． （２０２２·天津）已知 ｆ（ｘ）＝１