专题9 三角函数基础知识-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

■ ９８　 ■  ９H`=>abcd 901)*03+019+.)*/+.V+*9+* !"’“” １．角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋 转所成的图形． ２．角的表示： 如图，ＯＡ是角α的始边，ＯＢ是角α的终边， Ｏ是角 α的顶点．角 α可记为“角 α”或 “∠α”或简记为“α”． ３．角的加法与减法 设 α，β是任意两个角， －α为角 α的相 反角． （１）α＋β：把角α的终边旋转角β． （２）α－β：α－β＝α＋（－β）． ４．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 原点重合，角的始边与ｘ轴的非负半轴重合， 那么，角的终边在第几象限，就说这个角是 第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就 认为这个角不属于任何一个象限． 第一象限角的集合 ｛αｋ·３６０°＜α＜ｋ·３６０°＋９０°，ｋ ∈Ｚ｝ 第二象限角的集合 ｛α ｋ·３６０°＋９０°＜α＜ｋ·３６０°＋ １８０°，ｋ∈Ｚ｝ 第三象限角的集合 ｛αｋ·３６０°＋１８０°＜α＜ｋ·３６０°＋ ２７０°，ｋ∈Ｚ｝ 第四象限角的集合 ｛αｋ·３６０°－９０°＜α＜ｋ·３６０°，ｋ ∈Ｚ｝ ５．确定ｎα及αｎ所在的象限 典例已知 α是第二象限角，求角 α２所在的 象限． 解法一：因为α是第二象限角，所以ｋ·３６０° ＋９０°＜α＜ｋ·３６０°＋１８０°（ｋ∈Ｚ）．所以 ｋ２ ·３６０°＋４５°＜α２＜ ｋ ２·３６０°＋９０°（ｋ∈Ｚ）． 当ｋ为偶数时，令ｋ＝２ｎ（ｎ∈Ｚ），得ｎ·３６０° ＋４５°＜α２＜ｎ·３６０°＋９０°，这表明 α ２是第一 象限角； 当ｋ为奇数时，令ｋ＝２ｎ＋１（ｎ∈Ｚ），得 ｎ· ３６０°＋２２５°＜α２＜ｎ·３６０°＋２７０°，这表明 α ２ 是第三象限角． 所以 α ２为第一或第三象限角． 解法二：如图，先将各象限分成２等份，再 从ｘ轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依 次将各区域标上一、二、三、四，则标有二 的区域即为 α ２的终边所在的区域，故 α ２为第 一或第三象限角． 若本例条件中角 α变为第三象限角，求角α２ 是第几象限角                               ． !" ９ # :K12LMNO ■■ ９９　 ■ 如图所示， 先将各象限分成２等份，再从 ｘ轴正半轴的 上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上 一、二、三、四，则标有三的区域即为角 α ２ 的终边所在的区域，故角 α ２为第二或第四象 限角． 若在本例条件下，求角２α的终边的位置． 解因为 α是第二象限角，所以 ｋ·３６０°＋９０° ＜α＜ｋ·３６０°＋１８０°（ｋ∈Ｚ）．所以 ｋ·７２０° ＋１８０°＜２α＜ｋ·７２０°＋３６０°（ｋ∈Ｚ）． 所以角２α的终边在第三或第四象限或在ｙ轴 的非正半轴上． ６．终边相同的角 所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内， 可构成一个集合 Ｓ＝｛β｜β＝α＋ｋ·３６０°，ｋ ∈Ｚ｝，即任一与角α终边相同的角，都可以 表示成角α与整数个周角的和． －８７０°的终边在第几象限 （　　） 　 　　　　　　　　　　　Ａ．一 Ｂ．二 Ｃ．三 Ｄ．四 因为 －８７０°＝－２×３６０°－１５０°， －１５０° 是第三象限角．故选Ｃ． 若角β的终边与６０°角的终边相同，则在 ０°～３６０°范围内，终边与角 β３的终边相同 的角为　　　　． 因为β＝ｋ·３６０°＋６０°ｋ∈( )Ｚ，ｋ∈Ｚ，所 以 β ３＝ｋ·１２０°＋２０°ｋ∈( )Ｚ，又０°≤ β ３＜３６０°， 所以０°≤ｋ·１２０°＋２０°＜３６０°ｋ∈( )Ｚ． 所以－１６≤ｋ＜ １７ ６，所以 ｋ＝０，１，２，此时得 β ３ 分别为２０°，１４０°，２６０°．故在０°～３６０°范围内， 与角 β ３的终边相同的角为２０°，１４０°，２６０°． *"•–— １．１弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆 心角叫做１弧度的角，弧度用符号ｒａｄ表示． ２．角α的弧度数：如果半径为ｒ的圆的圆心角α 所对弧的长为 ｌ，那么 ｌ＝ｒα，角 α的弧度数 的绝对值是 α ＝ｌｒ ３．角度与弧度的换算：①１°＝π１８０ｒａｄ；②１ｒａｄ ＝１８０ π ° ４．弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为 ｌ， 圆心角大小为 α( )ｒａｄ（０＜α＜２π），半径为 ｒ，又ｌ＝ｒα，则扇形的面积为 Ｓ＝１２ｌ·ｒ＝ １ ２ · α·ｒ２． 弧长为 ３π，圆心角为１３５°的扇形半径为 　　　　，面积为　　　　． 弧长ｌ＝３π，圆心角ａ＝３４π，由弧长公式 ｌ＝ａ·ｒ得 ｒ＝ｌａ＝ ３π ３ ４π ＝４，面积 Ｓ＝１２ｌ·ｒ ＝６π． （２０２２·甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国 古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆 弧