专题8 反函数与函数零点问题-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

!" ８ # G12&12HIJ" ■■ ８５　 ■ ８Y=>#=>Z[\] D01+019+.-.+019+.4*128*01^,1_* !"FG １．反函数的定义 设Ａ，Ｂ分别为函数 ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域和值 域，如果由函数 ｙ＝ｆ（ｘ）所解得的 ｘ＝φ（ｙ） 也是一个函数（即对任意的一个 ｙ∈Ｂ，都有 唯一的ｘ∈Ａ与之对应），那么就称函数 ｘ＝ φ（ｙ）是函数ｙ＝ｆ（ｘ）的反函数，记作 ｘ＝ｆ－１ （ｙ），在ｘ＝ｆ－１（ｙ）中，ｙ是自变量，ｘ是ｙ的 函数，习惯上改写成 ｙ＝ｆ－１（ｘ）（ｘ∈Ｂ，ｙ∈ Ａ）的形式．函数ｘ＝ｆ－１（ｙ）（ｙ∈Ｂ，ｘ∈Ａ）与 函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）（ｘ∈Ｂ，ｙ∈Ａ）为同一函数， 因为自变量的取值范围即定义域都是 Ｂ，对 应法则都为ｆ－１． 由定义可以看出，函数 ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域 Ａ 正好是它的反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）的值域；函数 ｙ ＝ｆ（ｘ）的值域 Ｂ正好是它的反函数 ｙ＝ ｆ－１（ｘ）的定义域． 注意：并不是每个函数都有反函数，有些函 数没有反函数，如ｙ＝ｘ２．一般说来，单调函 数有反函数． ２．反函数的性质 （１）互为反函数的两个函数的图象关于直线 ｙ ＝ｘ对称． （２）若函数 ｙ＝ｆ（ｘ）图象上有一点（ａ，ｂ）， 则（ｂ，ａ）必在其反函数图象上；反之， 若（ｂ，ａ）在反函数图象上，则（ａ，ｂ）必 在原函数图象上． （２０２２·全国）函数ｙ＝２ １ ｘ（ｘ＞０）的反函数 是 （　　） 　 　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝ １ｌｏｇ２ｘ （ｘ＞１） Ｂ．ｙ＝ｌｏｇ２ １ ｘ（ｘ＞１） Ｃ．ｙ＝ １ｌｏｇ２ｘ （０＜ｘ＜１） Ｄ．ｙ＝ｌｏｇ２ １ ｘ（０＜ｘ＜１） 由ｙ＝２ １ ｘ（ｘ＞０）可得：１ｘ＝ｌｏｇ２ｙ，因为 ｘ ＞０，所以１ｘ＞０，则 ｙ＞１，所以原函数的反函 数为ｙ＝ １ｌｏｇ２ｘ （ｘ＞１）．故选Ａ． （２０２１·上海）下列函数中，在定义域内存 在反函数的是 （　　） Ａ．ｆ（ｘ）＝ｘ２ Ｂ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ Ｃ．ｆ（ｘ）＝２ｘ Ｄ．ｆ（ｘ）＝１ 选项Ａ：因为函数是二次函数，属于二对 一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函 数，Ａ错误，选项 Ｂ：因为函数是三角函数，有 周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数 的定义可得函数不存在反函数，Ｂ错误，选项 Ｃ：因为函数是单调递增的指数函数，属于一一 映射，所以函数存在反函数，Ｃ正确，选项 Ｄ： 因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以 函数不存在反函数，Ｄ错误，故选Ｃ． （２０２０·上海）已知 ｆ（ｘ）＝ ｘ槡 －１，其反 函数为ｆ－１（ｘ），若ｆ－１（ｘ）－ａ＝ｆ（ｘ＋ａ）有 实数根，则ａ的取值范围为　　　　． 因为ｙ＝ｆ－１（ｘ）－ａ与 ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）互为反 函数，若ｙ＝ｆ－１（ｘ）－ａ与ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）有实数根， 则ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）与ｙ＝ｘ有交点，所以 ｘ＋ａ槡                               －１＝ ■ ８６　 ■  ｘ，即ａ＝ｘ２－ｘ＋１＝ ｘ－１( )２ ２ ＋３４≥ ３ ４，故答案 为 ３ ４，＋[ )∞ ． （２０１８· 上海）设 ａ＞０，函数 ｆ（ｘ） ＝ １ １＋ａ·２ｘ ． （１）若ａ＝１，求 ｆ（ｘ）的反函数ｆ－１（ｘ）； （２）求函数 ｙ＝ｆ（ｘ）·ｆ（－ｘ）的最大值 （用ａ表示）； （３）设ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－１）．若对任意 ｘ∈（－∞，０］，ｇ（ｘ）≥ｇ（０）恒成立， 求ａ的取值范围． （１）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝ １ １＋２ｘ ，所以１＋２ｘ ＝１ｙ，即２ ｘ＝１ｙ－１＝ １－ｙ ｙ，则０＜ｙ＜１，所以ｘ ＝ｌｏｇ２ １－ｙ( )ｙ ；故 ｆ（ｘ）的反函数 ｆ－１（ｘ）＝ｌｏｇ２ １－ｘ( )ｘ ，ｘ∈（０，１） （２）因为 ｙ＝ ｆ（ｘ）· ｆ（－ｘ）＝ １ １＋ａ·２ｘ · １ １＋ａ·２－ｘ ＝ １ １＋ａ２＋ａ（２ｘ＋２－ｘ） ，设 ｙ＝２ｘ ＋ ２－ｘ，易知，函数ｙ＝２ｘ＋２－ｘ在（－∞，０）上单调 递减，在（０，＋∞）上单调递增，则当 ｘ＝０时， ｙ＝２ｘ＋２－ｘ有最小值，最小值为２，所以当 ｘ＝０ 时，ｙ＝ｆ（ｘ）·ｆ（－ｘ）有最大值，所以 ｙｍａｘ＝ １ １＋ａ２＋２ａ ＝ １ （ａ＋１）２ ； （３）ｇ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－１）＝ １ １＋ａ·２ｘ － １ １＋ａ·２ｘ－１ ，令 ｔ＝ａ·２ｘ，因为 ｘ∈（－∞，０］， ａ＞０，所以０＜ｔ≤ａ． 所以 ｈ（ｔ）＝ －ｔ ｔ２＋３ｔ＋２ ＝ －１ ｔ＋２ｔ＋３ ，当 ａ≤槡２时 ｈ（ｔ）在（０，ａ］上单调递减，所以ｈ（ｔ）ｍｉｎ＝ｈ（ａ） ＝ －ａ ａ２＋３ａ＋２ 因为对任意 ｘ∈（－∞，０］，ｇ（ｘ）≥ｇ（０）恒