专题7 指数函数与对数函数-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

■ ７４　 ■  ７W>=>#X>=> V+*9+.+019+.-.8.*9+.+019+. !"†G4‡ １．有理数指数幂的分类 （１）正整数指数幂 ａｎ＝ａ·ａ·ａ·…·       ａ ｎ个 （ｎ∈ Ｎ）； （２）零指数幂ａ０＝１（ａ≠０）； （３）负整数指数幂ａ－ｎ＝１ ａｎ （ａ≠０，ｎ∈Ｎ）； （４）０的正分数指数幂等于０，０的负分数指 数幂没有意义． ２．有理数指数幂的性质 （１）ａｍａｎ＝ａｍ＋ｎ（ａ＞０，ｍ，ｎ∈Ｑ）； （２）（ａｍ）ｎ＝ａｍｎ（ａ＞０，ｍ，ｎ∈Ｑ）； （３）（ａｂ）ｍ＝ａｍｂｍ（ａ＞０，ｂ＞０，ｍ∈Ｑ）； （４） ｎ ａ槡 ｍ＝ａ ｍ ｎ（ａ＞０，ｍ，ｎ∈Ｑ）． ３．根式的定义： 一般地，如果ｘｎ＝ａ，那么ｘ叫做ａ的ｎ次方 根，其中（ｎ＞１，ｎ∈Ｎ）， ｎ 槡ａ叫做根式，ｎ 叫做根指数，ａ叫被开方数． ４．对于根式记号ｎ槡ａ，要注意以下几点： （１）ｎ∈Ｎ，且ｎ＞１； （２）当 ｎ是奇数，则 ｎ ａ槡 ｎ＝ａ；当 ｎ是偶数， 则 ｎ ａ槡 ｎ＝ ａ＝ ａａ≥０ －ａａ{ ＜０； （３）负数没有偶次方根； （４）零的任何次方根都是零． ５．指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题， 需要先写成指数形式： 例： ａ ａ槡槡槡 ａ＝ａ １ ２ａ １ ４ａ １ ８ ＝ａ １ ２＋ １ ４＋ １ ８ ＝ａ ７ ８； ４ ａ ３ ａ槡槡 ２ ＝ａ １ ４·ａ ２ ３× １ ４ ＝ａ ５ １２． ６．指数的逆运算过程： ５１( )１６ －１２ ＝ ８１( )１６ －１２ ＝ ３( )２[ ] ４ －１２ ＝ ３( )２ ４× －１( )２ ＝４９． 化简 ３ －８ａ －３ ２７ｂ( )３槡 ４ （其中ａ＞０，ｂ＞０）的结 果是 （　　） 　 　　　　　　　　　　　Ａ．２ａ３ｂ Ｂ．－ ２ａ ３ｂ Ｃ． １６ ８１ｂ４ａ４ Ｄ．－ １ ８１ｂ４ａ４ 由 ３ －８ａ －３ ２７ｂ( )３槡 ４ ＝ ３ ８４ａ－１２ ３１２ｂ槡 １２ ＝２ ４ａ－４ ３４ｂ４ ＝ １６ ８１ａ４ｂ４ ，故选Ｃ． 下列根式，分数指数幂的互化中，正确的 是 （　　） Ａ．－槡ｘ＝（－ｘ） １ ２ Ｂ．ｘ－ １ ３ ＝－３槡ｘ Ｃ． ｘ( )ｙ －３４ ＝ ４ ｙ( )ｘ槡 ３ （ｘ，ｙ≠０） Ｄ． ６ ｙ槡 ２＝ｙ １ ３ 由－槡ｘ＝－ｘ １ ２（ｘ≥０），因此 Ａ选项不正 确；由ｘ－ １ ３ ＝１３ 槡ｘ （ｘ≠０），因此Ｂ选项不正确；由 ｘ( )ｙ －３４ ＝ １４ ｘ( )ｙ槡 ３ ＝ ４ ｙ( )ｘ槡 ３ （ｘｙ＞０），因此Ｃ选 项正确；由 ６ ｙ槡 ２＝ ｙ １ ３，因此Ｄ选项不正确，故 选Ｃ                               ． !" ７ # E212&F212 ■■ ７５　 ■ （－ｘ）２ －１ 槡 ｘ 等于 （　　） Ａ．槡ｘ Ｂ．－ｘ －槡 ｘ Ｃ．ｘ槡ｘ Ｄ．ｘ －槡 ｘ 由 －１ｘ≥０，可得 ｘ＜０．所以原式 ＝ －ｘ ｘ２× －１( )槡 ｘ ＝－ｘ －槡 ｘ，故选Ｂ． 已知ａ＋ａ－１＝３，下列各式中正确的个数 是 （　　） ①ａ２＋ａ－２＝７；②ａ３＋ａ－３＝１８；③ａ １ ２ ＋ ａ－ １ ２ ＝±槡５；④ａ槡ａ＋ １ ａ槡ａ ＝２槡５． Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 在①中，因为 ａ＋ａ－１＝３，所以 ａ２＋ａ－２ ＝（ａ＋ａ－１）２－２＝９－２＝７，故①正确；在②中， 因为ａ＋ａ－１＝３，所以ａ３＋ａ－３＝（ａ＋ａ－１）（ａ２－ １＋ａ－２）＝３×６＝１８，故②正确；在③中，因为 ａ＋ａ－１＝３，所以 ａ １ ２ ＋ａ－ １ ( )２ ２＝ａ＋ａ－１＋２＝５， 且ａ＞０，所以 ａ １ ２ ＋ａ－ １ ２ ＝槡５，故③错误；在④ 中，因 为 ａ３ ＋ａ－３ ＝１８，且 ａ＞０，所 以 ａ槡ａ＋ １ ａ槡( )ａ ２ ＝ａ３＋ａ－３＋２＝２０，即ａ槡ａ＋ １ ａ槡ａ ＝２槡５，故④正确．所以①②④正确，故选Ｃ． *"LG4‡ 对数的定义：一般地，如果 ａｘ＝Ｎ（ａ＞０， 且ａ≠１），那么数ｘ叫做以ａ为底Ｎ的对数，记 作ｘ＝ｌｏｇａＮ，读作以ａ为底Ｎ的对数，其中ａ叫 做对数的底数，Ｎ叫做真数． 一、对数运算法则： （１）外和内乘原理：ｌｏｇａ（ＭＮ）＝ｌｏｇａＭ＋ｌｏｇａＮ； （２）外差内除原理：ｌｏｇａ Ｍ Ｎ＝ｌｏｇａＭ－ｌｏｇａＮ； （３）提公次方法：ｌｏｇａｍｂ ｎ＝ｎｍｌｏｇａｂ（ｍ，ｎ∈Ｒ）； （４）特殊对数：ｌｏｇａ１＝０； （５）指中有对，没心没肺：ａｌｏｇａｂ＝ｂ和ｌｏｇａａ ｂ＝ｂ 如：ｌｏｇ３８１＝ｌｏｇ３３ ４＝４，２ｌｏｇ２５＝５． 二、换底公式和对数运算的一些方法：