专题6 幂函数与周期函数-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

!" ６ # B12&CD12 ■■ ６３　 ■ ６R=>#ST=> U*+019+.-.V+3.Q*+019+. !"FG%DEH() 一般地，函数ｙ＝ｘα叫做幂函数，其中 ｘ是 自变量，α是常数． １．在同一平面直角坐标系内函数（１）ｙ＝ｘ；（２） ｙ＝ｘ １ ２；（３）ｙ＝ｘ２；（４）ｙ＝ｘ－１；（５）ｙ＝ｘ３的 图象如图． ２．五个幂函数的性质 ｙ＝ｘ ｙ＝ｘ２ ｙ＝ｘ３ ｙ＝ｘ １ ２ ｙ＝ｘ－１ 定义域 Ｒ Ｒ Ｒ ［０，＋∞）｛ｘｘ≠０｝ 值域 Ｒ ［０，＋∞） Ｒ ［０，＋∞）｛ｙｙ≠０｝ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在 ［０， ＋ ∞）上 增， 在 （－∞， ０］上减 增 增 在 （０， ＋ ∞）上 减， 在 （－∞， ０）上减 幂函数的共同性质总结： ①所有的幂函数在（０， ＋∞）上都有定义， 并且图象都过点（１，１）． ②当α＞０时，幂函数的图象通过原点，并且 在区间［０，＋∞）上单调递增．特别地，当α ＞１时，幂函数的图象下凸；当０＜α＜１时， 幂函数的图象上凸． ③当α＜０时，幂函数在区间（０，＋∞）上单 调递减． ④幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的 图象关于直线ｙ＝ｘ对称． ⑤在第一象限，作直线ｘ＝ａ（ａ＞１），它同各 幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序， 幂指数按从小到大的顺序排列． （２０２１·新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列 性质①②③的函数 ｆ（ｘ）：　　　　． ①ｆ（ｘ１ｘ２）＝ｆ（ｘ１）ｆ（ｘ２）；②当 ｘ∈（０， ＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０；③ｆ′（ｘ）是奇函数． 幂函数 ｆ（ｘ）＝ｘａ（ａ＞０）即可满足条件① 和②；偶函数即可满足条件③， ｆ（ｘ）＝ｘ２时，ｆ（ｘ１ｘ２）＝（ｘ１ｘ２） ２＝ｘ２１ｘ ２ ２＝ｆ（ｘ１） ｆ（ｘ２）；当 ｘ∈（０， ＋∞）时，ｆ′（ｘ）＝２ｘ＞０； ｆ′（ｘ）＝２ｘ是奇函数．故答案为 ｆ（ｘ）＝ｘ２． 综上所述，取 ｆ（ｘ）＝ｘ２即可． （２０１８·上海）已知α∈｛－２，－１，－１２， １ ２，１，２， }３，若幂函数 ｆ（ｘ）＝ｘ α为奇 函数，且在 （０， ＋∞）上递减，则 α ＝　　　　． 因为 α∈｛－２， －１， －１２， １ ２，１，２， }３，幂函数 ｆ（ｘ）＝ｘα为奇函数，且在（０，＋∞） 上递减，所以ａ是奇数，且ａ＜０，所以ａ＝－１． 故答案为－１． （２０２３·大连期末）已知幂函数 ｙ＝ｘａ与 ｙ ＝ｘｂ的部分图象如图所示，直线 ｘ＝ｍ２， ｘ＝ｍ（０＜ｍ＜１）与ｙ＝ｘａ，ｙ＝ｘｂ分别交于 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点，且 ＡＢ ＝ ＣＤ，则 ｍａ＋ｍｂ＝ （　　                               ） ■ ６４　 ■  　 　　　　　　 　　 　　　Ａ．１２ Ｂ．１ Ｃ．槡２ Ｄ．２ 由题意， ＡＢ ＝（ｍ２）ａ－（ｍ２）ｂ， ＣＤ ＝ ｍａ－ｍｂ，根据图象可知ｂ＞１＞ａ＞０，当０＜ｍ＜ １时，（ｍ２）ａ＞（ｍ２）ｂ，ｍａ＞ｍｂ，因为 ＡＢ ＝ ＣＤ，所以 ｍ２ａ－ｍ２ｂ＝（ｍａ＋ｍｂ）（ｍａ－ｍｂ）， 因为ｍａ－ｍｂ＞０，所以ｍａ＋ｍｂ＝１．故选Ｂ． （２０１０·安徽）设ａ＝ ３( )５ ２ ５ ，ｂ＝ ２( )５ ３ ５ ，ｃ ＝ ２( )５ ２ ５ ，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系是 （　　） Ａ．ａ＞ｃ＞ｂ Ｂ．ａ＞ｂ＞ｃ Ｃ．ｃ＞ａ＞ｂ Ｄ．ｂ＞ｃ＞ａ 因为ｙ＝ｘ ２ ５在ｘ＞０时是增函数，所以ａ＞ ｃ又因为ｙ＝ ２( )５ ｘ 在ｘ＞０时是减函数，所以ｃ＞ ｂ故选Ａ． *"L‚FGHƒ„FG 一、函数对称性 定理一：若函数 ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线 ｘ＝ａ对 称，则ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ－ｘ）． 推论一：关系式 ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ－ｘ）也可以 写成 ｆ（ｘ）＝ｆ（２ａ－ｘ）或ｆ（－ｘ）＝ｆ（２ａ＋ｘ）． 若写成ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ｂ－ｘ），则函数ｙ＝ｆ（ｘ） 关于直线ｘ＝（ａ＋ｘ）＋（ｂ－ｘ）２ ＝ ａ＋ｂ ２ 对称． 证明：设点（ｘ１，ｙ１）在ｙ＝ｆ（ｘ），由 ｆ（ｘ）＝ ｆ（２ａ－ｘ）可知，ｙ１＝ｆ（ｘ１）＝ｆ（２ａ－ｘ１），即点（２ａ －ｘ１，ｙ１）也在函数ｙ＝ｆ（ｘ）上，而点（ｘ１，ｙ１）与 点（２ａ－ｘ１，ｙ１）关于ｘ＝ａ对称，即得证． 定理二：若函数 ｙ＝ｆ（ｘ）关于点（ａ，ｂ）对 称，则ｆ（ａ＋ｘ）＋ｆ（ａ－ｘ）＝２ｂ． 推论二：关系式ｆ（ａ＋ｘ）＋ｆ（ａ－ｘ）＝２ｂ也 可以写成ｆ（２ａ＋ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝２ｂ或 ｆ（２ａ－ｘ）＋ ｆ（ｘ）＝２ｂ． 证明：设点（ｘ１，ｙ１）在ｙ＝ｆ（ｘ）上，即ｙ１＝ ｆ（ｘ１），通过 ｆ（２ａ－ｘ）＋ ｆ（ｘ）＝２ｂ可知， ｆ（２ａ－ｘ１）＋ｆ（ｘ１）＝２ｂ，所以 ｆ（２ａ－ｘ１）＝