专题5 函数单调性与奇偶性-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

!" ５ # 12=>?&@A? ■■ ４５　 ■ ５=>KLM#NOM +019+.8018*03P*12-.Q*3.P*12 　　函数的性质，包含单调性、奇偶性、对称 性、周期性，本节我们会在重点阐述这些问题的 同时，系统地将抽象函数的一些解题方法进行归 纳，函数太需要扎实的基本功了． !"FGx~( 一、增函数、减函数的概念 一般地，设函数 ｆ（ｘ）的定义域为Ａ，区间Ｄ Ａ： 如果对于 Ｄ内的任意两个自变量的值 ｘ１、 ｘ２，当ｘ１＜ｘ２时，都有ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２），那么就说 ｆ（ｘ）在区间Ｄ上是增函数． 如果对于 Ｄ内的任意两个自变量的值 ｘ１、 ｘ２，当ｘ１＜ｘ２时，都有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），那么就说 ｆ（ｘ）在区间Ｄ上是减函数． １．属于定义域Ａ内某个区间上； ２．任意两个自变量ｘ１、ｘ２且ｘ１＜ｘ２； ３．都有ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２）或ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２）； ４．图象特征：在单调区间上增函数的图象从左 向右是上升的，减函数的图象从左向右是下 降的． 二、单调性与单调区间 １．单调区间的定义：如果函数 ｆ（ｘ）在区间 Ｄ上 是增函数或减函数，那么就说函数 ｆ（ｘ）在区 间Ｄ上具有单调性，Ｄ称为函数 ｆ（ｘ）的单调 区间． ２．函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 三、证明函数单调性的步骤 １．取值：设ｘ１，ｘ２是 ｆ（ｘ）定义域内一个区间上 的任意两个量，且ｘ１＜ｘ２； ２．变形：作差变形（变形方法：因式分解、配 方、有理化等）或作商变形； ３．定号：判断差的正负或商与１的大小关系； ４．得出结论． 四、函数单调性的判断方法 １．定义法：根据增函数、减函数的定义，按照 “取值—变形—判断符号—下结论”进行 判断． ２．图象法：就是画出函数的图象，根据图象的 上升或下降趋势，判断函数的单调性． ３．直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次 函数、二次函数、反比例函数等，直接写出 它们的单调区间． ４．记住几条常用的结论： （１）若 ｆ（ｘ）是增函数，则 －ｆ（ｘ）为减函数； 若 ｆ（ｘ）是减函数，则－ｆ（ｘ）为增函数； （２）若 ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）均为增（或减）函数，则在 ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）的公共定义域上 ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ） 为增（或减）函数； （３）若 ｆ（ｘ）＞０且 ｆ（ｘ）为增函数，则函数 ｆ（ｘ槡 ）为增函数， １ ｆ（ｘ）为减函数；若 ｆ（ｘ）＞０且 ｆ（ｘ）为减函数，则函数 ｆ（ｘ槡 ）为减函数， １ ｆ（ｘ）为增函数． 五、复合函数单调性的判断 讨论复合函数 ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的单调性时要注 意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单 调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正 确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分 别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则 如下： １．若ｕ＝ｇ（ｘ），ｙ＝ｆ（ｕ）                               在所讨论的区间上都是 ■ ４６　 ■  增函数或都是减函数，则 ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为增 函数； ２．若ｕ＝ｇ（ｘ），ｙ＝ｆ（ｕ）在所讨论的区间上一个 是增函数，另一个是减函数，则 ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］ 为减函数． 列表如下： ｕ＝ｇ（ｘ） ｙ＝ｆ（ｕ） ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］ 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 　　复合函数单调性可简记为“同增异减”，即 内外函数的单调性相同时递增；单调性相异时 递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤 操作： １．将复合函数分解成基本初等函数：ｙ＝ｆ（ｕ）， ｕ＝ｇ（ｘ）； ２．分别确定各个函数的定义域； ３．分别确定分解成的两个基本初等函数的单调 区间． 注若两个基本初等函数在对应的区间上的单 调性是同增或同减，则 ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为增函数； 若为一增一减或一减一增，则 ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为减 函数． 六、利用函数单调性求函数最值 利用函数单调性求函数最值时应先判断函数 的单调性，再求最值．常用到下面的结论： １．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ］上是增函数， 在区间［ｂ，ｃ）上是减函数，则函数 ｙ＝ｆ（ｘ） （ｘ∈ ａ，( )ｃ）在ｘ＝ｂ处有最大值ｆ（ｂ）． ２．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ］上是减函数， 在区间［ｂ，ｃ）上是增函数，则函数 ｙ＝ｆ（ｘ） （ｘ∈ ａ，( )ｃ）在ｘ＝ｂ处有最小值ｆ（ｂ）． ３．若函数ｙ＝ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上是严格单调函数， 则函数ｙ＝ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一定有最大、最 小值． ４．若函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上是单调递增 函数，则ｙ＝ｆ（ｘ）的最大值是 ｆ（ｂ），最小值 是ｆ（ａ）． ５．若函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上是单调递减 函数，则ｙ＝ｆ（ｘ）的最大值是