专题4 函数的概念与三要素-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

■ ３４　 ■  ４=>EFG#HIJ +019+.8,20*1*01-.901-039. !"FG%DE 一般地，设Ａ，Ｂ是非空的实数集，如果对 于集合Ａ中的任意一个数 ｘ，按照某种确定的对 应关系ｆ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数 ｙ和它 对应，那么就称ｆ：Ａ→Ｂ为从集合Ａ到集合Ｂ的 一个函数 三 要 素 对应关系 ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈Ａ 定义域 ｘ的取值范围 值域 与ｘ的值相对应的ｙ的值的集合｛ｆ（ｘ）ｘ∈Ａ｝ （１）函数定义中强调“三性”：任意性、存在 性、唯一性，即对于非空数集 Ａ中的任意一个 （任意性）数 ｘ，在非空数集 Ｂ中都有（存在性） 唯一（唯一性）的数ｙ与之对应．这三性只要有一 个不满足，便不能构成函数． （２）ｙ＝ｆ（ｘ）仅仅是函数符号，不是表示“ｙ 等于ｆ与ｘ的乘积”，ｆ（ｘ）也不一定就是解析式． （３）除 ｆ（ｘ）外，有时还用ｇ（ｘ），ｕ（ｘ）， Ｆ（ｘ），Ｇ（ｘ）等符号来表示函数． *"FGRz{ １．基本的函数定义域限制 （１）分式中的分母不为０； （２）偶次方根下的数（或式）大于或等于０； （３）零指数幂的底数不为０； （４）指数式的底数大于０且不等于１； （５）对数式的底数大于０且不等于１，真数大 于０； （６）正切函数ｙ＝ｔａｎｘ（ｘ∈Ｒ且 ｘ≠ｋπ＋π２，ｋ ∈Ｚ）． 若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为Ｍ＝｛ｘ－２≤ ｘ≤２｝，值域为 Ｎ＝｛ｙ｜０≤ｙ≤２｝，则函 数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象可能是 （　　） 　 　　　　　　　　　　　 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ａ不符合定义域当中的每一个元素都有 象；Ｂ满足函数定义，故符合；Ｃ出现了定义域 当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情 况，不符合函数的定义；对 Ｄ值域当中有的元 素没有原象，故选Ｂ． 下列函数 ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）表示同一函数的是 （　　） Ａ．ｆ（ｘ）＝ ｘ２槡 －１与ｇ（ｘ）＝ ｘ槡 －１· ｘ槡 ＋１ Ｂ．ｆ（ｘ）＝ｘ与ｇ（ｘ）＝ｘ ３＋ｘ ｘ２＋１ Ｃ．ｙ＝ｘ与ｙ＝（槡ｘ） ２ Ｄ．ｆ（ｘ）＝ ｘ槡 ２与ｇ（ｘ）＝ ３ ｘ槡 ３ 因为选项 Ａ，Ｃ中的函数定义域不同，选 项Ｄ中的函数解析式不同，只有选项 Ｂ正确， 故选Ｂ． （２０２２·北京）函数 ｆ（ｘ）＝１ｘ＋ １－槡 ｘ的 定义域是 　　　　． 要使 ｆ（ｘ）＝１ｘ ＋ １－槡 ｘ有意义，                               则 !" ４ # 12789&:;< ■■ ３５　 ■ ｘ≠０ １－ｘ≥{ ０，解得ｘ≤１且 ｘ≠０，函数的定义域为 （－∞，０）∪（０，１］．故答案为（－∞，０）∪ （０，１］． （２０２２·上海）下列函数定义域为Ｒ的是 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ－ １ ２ Ｂ．ｙ＝ｘ－１ Ｃ．ｙ＝ｘ １ ３ Ｄ．ｙ＝ｘ １ ２ ｙ＝ｘ－ １ ２ ＝１ 槡ｘ ，定义域为｛ｘｘ＞０｝，ｙ＝ ｘ－１＝１ｘ，定义域为｛ｘｘ≠０｝， ｙ＝ｘ １ ３ ＝３槡ｘ，定义域为Ｒ，ｙ＝ｘ １ ２ ＝槡ｘ，定义域为 ｛ｘｘ≥０｝．所以定义域为 Ｒ的是 ｙ＝ｘ １ ３．故 选Ｃ． ２．可转化为二次函数定义域问题 若函数 ｆ（ｘ）＝ ２ｘ２＋２ａｘ－槡 ａ的定义域为 Ｒ，则实数ａ的取值范围为　　　　． 根据题意得２ｘ２＋２ａｘ－ａ≥０恒成立，即Δ ＝（２ａ）２－４×２×（－ａ）≤０，解得 ａ∈［－２， ０］．故答案为［－２，０］． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｋｘ＋７ ｋｘ２＋４ｋｘ＋３ 的定义域是 Ｒ，求实数ｋ的取值范围． 要使函数有意义，则ｋｘ２＋４ｋｘ＋３≠０恒成 立，由于 ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，即ｋｘ２＋４ｋｘ＋３＝０ 无实数解．①当ｋ≠０时，Δ＝１６ｋ２－４×３ｋ＜０恒 成立，解得０＜ｋ＜３４；②当 ｋ＝０时，方程左边 ＝３≠０恒成立．综上ｋ的取值范围是０≤ｋ＜３４． 归纳总结：在二次函数定义域为一切实数的 时候，除了分析判别式以外，还要考虑二次项 系数． ３．抽象函数的定义域求法 此类型题目最关键的就是法则下的定义域不 变，若 ｆ（ｘ）的定义域为（ａ，ｂ），求ｆ［ｇ（ｘ）］中ａ ＜ｇ（ｘ）＜ｂ的解 ｘ的范围，即为 ｆ［ｇ（ｘ）］的定 义域． ①已知 ｆ（ｘ）的定义域，求复合函数ｆ［ｇ( )ｘ］ 的定义域 已知函数 ｆ（ｘ）的定义域为［－１，５］，求 ｆ（３ｘ－５）的定义域． 因为 ｆ（ｘ）的定义域为［－１，５］，则 －１≤ ３ｘ－５≤５，即４３≤ｘ≤ １０ ３．故函数 ｆ（３ｘ－５）的定 义域为 ４ ３， １０[ ]３ ． ②已知复合函数ｆ［ｇ（ｘ）］的定义域，求 ｆ（ｘ） 的定义域 若ｆ［ｇ（ｘ）］的定义域为 ｘ∈（ａ，ｂ），则由 ａ ＜ｘ＜ｂ确定ｇ（ｘ）的范围即为 ｆ（ｘ）的定义域． 已知函数 ｆ（ｘ２－２ｘ＋