专题3 二次函数与一元二次方程不等式-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

■ ２４　 ■  ３;<=>#?@;<AB756 ,C/*+019+.-.-*-.01,C/*D012/+,12:.8,129+* !"!B*C+#$%DE 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是２的不等式，叫做一元二次不等式． ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ ≥０，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ≤０，其中 ａ≠０，ａ，ｂ，ｃ均为 常数． 思考：ａ２ｂ＋２ａｂ２＋８＞０（ａｂ≠０）可看作一元二次 不等式吗？ 可以，把ｂ看作常数，则是关于ａ的一元二次不 等式；把ａ看作常数，则是关于ｂ的一元二次不 等式． *"*CFGH!B*C2IJ+#$%K%LMNO 判别式 Δ ＝ｂ２－４ａｃ Δ ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 二次函数 ｙ＝ａｘ２ ＋ ｂｘ＋ｃ（ａ ＞０）的 图象 一元二次 方 程 ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ＝ ０（ａ＞０） 的根 有两个不相等 的实数根 ｘ１， ｘ２（ｘ１＜ｘ２） 有两个相等 的实数根 ｘ１ ＝ｘ２＝－ ｂ ２ａ 没有实数根 ａｘ２＋ｂｘ＋ ｃ＞０（ａ＞ ０）的解集 ｛ｘｘ＜ｘ１，或 ｘ＞ｘ２｝ ｛ｘｘ≠－ｂ２ａ｝ Ｒ ａｘ２＋ｂｘ＋ ｃ＜０（ａ＞ ０）的解集 ｛ｘｘ１＜ｘ＜ｘ２｝   　　ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０意味着ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中ｙ＞０ 的部分，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０意味着ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中 ｙ＜０的部分，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＝ ０，求出两个根 ｘ１，ｘ２；根据图象可知：开口向 上时，大于取两边，小于取中间，反之亦然． 解关于ｘ的不等式 －ｘ２－２ｘ＋３＞０． 由题不等式可变形为 －（ｘ－１）（ｘ＋３）＞ ０，因为ａ＜０，不等式的解集为｛ｘ－３＜ｘ＜１｝． 解关于ｘ的不等式２ｘ－１ｘ＋１≥１． 不等式可变形为 ２ｘ－１－ｘ－１ ｘ＋１ ≥０，即 ｘ－２ ｘ＋１ ≥０，故｛ｘｘ＜－１或ｘ≥２｝． 已知关于ｘ的不等式 ａｘ２－３ｘ＋２＞０的解 集为｛ｘｘ＜１或ｘ＞ｂ｝． （１）求ａ，ｂ； （２）解关于ｘ的不等式ａｘ２－（ａｃ＋ｂ）ｘ＋ｂｃ ＜０（ｃ∈Ｒ）． （１）ａｘ２－３ｘ＋２＝ａ（ｘ－１）（ｘ－ｂ）＞０，解 得ａ＝１，ｂ＝２． （２）ａｘ２－（ａｃ＋ｂ）ｘ＋ｂｃ＝ｘ２－（ｃ＋２）ｘ＋２ｃ＝（ｘ －２）（ｘ－ｃ）＜０ 当ｃ＞２，不等式解集为 ｛ｘ２＜ｘ＜ｃ｝； 当ｃ＝２，不等式解集为φ； 当ｃ＜２，不等式解集为｛ｘｃ＜ｘ＜２｝． ,"!B*C+#$HPQRS ①已知关于 ｘ的不等式 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解 集为（ｍ，ｎ）（其中 ｍｎ＞０），解关于 ｘ的不等式 ｃｘ２＋ｂｘ＋ａ＞０． 由ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集为（ｍ，ｎ），得： ａ １( )ｘ ２ ＋ｂ１ｘ＋ｃ＞０的解集为 １ ｎ， １( )ｍ ，即关 于ｘ的不等式ｃｘ２＋ｂｘ＋ａ＞０的解集为 １ｎ， １( )ｍ ． ②已知关于 ｘ的不等式 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０                               的解 !" ３ # /012&34/056.,- ■■ ２５　 ■ 集为（ｍ，ｎ），解关于 ｘ的不等式 ｃｘ２＋ｂｘ＋ａ ≤０． 由ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集为（ｍ，ｎ），得： ａ １( )ｘ ２ ＋ｂ１ｘ＋ｃ≤０的解集为 －∞， １( ]ｎ ∪ １ ｍ，＋[ )∞ 即关于ｘ的不等式 ｃｘ２＋ｂｘ＋ａ≤０的 解集为 －∞，１( ]ｎ∪ １ｍ，＋[ )∞ ． ③已知关于 ｘ的不等式 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解 集为（ｍ，ｎ）（其中 ｍ＞ｎ＞０），解关于 ｘ的不等 式ｃｘ２－ｂｘ＋ａ＞０． 由ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集为（ｍ，ｎ），得： ａ １( )ｘ ２ －ｂ１ｘ＋ｃ＞０的解集为 － １ ｍ，－ １( )ｎ 即 关于 ｘ的不等式 ｃｘ２ －ｂｘ＋ａ＞０的解集 为 －１ｍ，－ １( )ｎ． ④已知关于 ｘ的不等式 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解 集为（ｍ，ｎ），解关于 ｘ的不等式 ｃｘ２－ｂｘ＋ａ ≤０． 由ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集为（ｍ，ｎ），得： ａ １( )ｘ ２ －ｂ１ｘ＋ｃ≤０的解集为 －∞，－ １( ]ｍ ∪ －１ｎ，＋[ )∞ 即关于ｘ的不等式 ｃｘ２－ｂｘ＋ａ≤０ 的解集为 －∞，－１( ]ｍ ∪ －１ｎ，＋[ )∞ ，以此 类推． 不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集为｛ｘ２＜ｘ＜ ４｝，则不等式ｃｘ２＋ｂｘ＋ａ＜０的解集为 （　　） 　 　　　　　　　　　　　Ａ．｛ｘｘ＜１４或ｘ＞ １ ２｝ Ｂ．｛ｘｘ＜１４｝ Ｃ．｛ｘｘ＞１２｝ Ｄ．｛ｘ１２＜ｘ＜ １ ４｝ ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集为（２，４），得 ａ １( )ｘ ２ ＋ｂ１ｘ＋ｃ＜０得解集为 －∞， １( )４ ∪ １ ２，＋( )∞ ，即关于ｘ的不等式 ｃｘ２＋ｂ