专题2 等式与不等式-【MST老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列1

■ １０　 ■  ２56#756 8,129+*-.:.8,129+* ２１ !=>?@'A=>?@ !"#$%&'() １．如果ａ＝ｂ，那么ｂ＝ａ． ２．如果ａ＝ｂ，ｂ＝ｃ，那么ａ＝ｃ． ３．如果ａ＝ｂ，那么ａ±ｃ＝ｂ±ｃ． ４．如果ａ＝ｂ，那么ａｃ＝ｂｃ． ５．如果ａ＝ｂ，ｃ≠０，那么ａｃ＝ ｂ ｃ． *"+#$%() 性质 别名 性质内容 注意 １ 对称性 ａ＞ｂｂ＜ａ  ２ 传递性 ａ＞ｂ，ｂ＞ｃａ＞ｃ 不可逆 ３ 可加性 ａ＞ｂａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ 可逆 ４ 可乘性 ａ＞ｂ，ｃ＞０ａｃ＞ｂｃ ａ＞ｂ，ｃ＜０ａｃ＜ｂｃ ｃ的符号 ５ 同向可加性 ａ＞ｂ，ｃ＞ｄａ＋ｃ＞ｂ ＋ｄ 同向 ６ 同向同正 可乘性 ａ＞ｂ＞０，ｃ＞ｄ＞０ａｃ ＞ｂｄ 同向 ７ 可乘方性 ａ＞ｂ＞０ａｎ＞ｂｎ（ｎ∈ Ｎ，ｎ≥２） 同正 ,"-.+#$%() 定理：若ａ＞ｂ＞０，ｍ＞０，则一定有ｂ＋ｍａ＋ｍ＞ ｂ ａ， 或者 ａ＋ｍ ｂ＋ｍ＜ ａ ｂ 通俗的理解就是 ａ克的不饱和糖水里含有 ｂ克 糖，往糖水里面加入ｍ克糖，则糖水更甜； 证明： ｂ＋ｍ ａ＋ｍ－ ｂ ａ＝ ａｂ＋ａｍ－ａｂ－ｂｍ ａ２＋ａｍ ＝（ａ－ｂ）ｍ ａ２＋ａｍ ＞０；ａ＋ｍｂ＋ｍ－ ａ ｂ＝ ａｂ＋ｂｍ－ａｂ－ａｍ ｂ２＋ｂｍ ＝－（ａ－ｂ）ｍ ｂ２＋ｂｍ ＜０ 糖水不等式会在后面的函数和对数比大小当中广 泛使用，我们后面还会具体讲到，这里仅作 介绍． 已知ａ，ｂ均为正实数．试利用作差法比 较ａ３＋ｂ３与ａ２ｂ＋ａｂ２的大小． 因为 ａ３＋ｂ３－（ａ２ｂ＋ａｂ２）＝（ａ３－ａ２ｂ）＋ （ｂ３－ａｂ２）＝ａ２（ａ－ｂ）＋ｂ２（ｂ－ａ）＝（ａ－ｂ）（ａ２－ ｂ２）＝（ａ－ｂ）２（ａ＋ｂ）． 当ａ＝ｂ时，ａ－ｂ＝０，ａ３＋ｂ３＝ａ２ｂ＋ａｂ２； 当ａ≠ｂ时，（ａ－ｂ）２＞０，ａ＋ｂ＞０，ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ ＋ａｂ２． 综上所述，ａ３＋ｂ３≥ａ２ｂ＋ａｂ２． （２０２２·上海）若 ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ，则下列不 等式恒成立的是 （　　） 　 　　　 　 　　　　 　 　　Ａ．ａ＋ｄ＞ｂ＋ｃ Ｂ．ａ＋ｃ＞ｂ＋ｄ Ｃ．ａｃ＞ｂｄ Ｄ．ａｄ＞ｂｃ 对于 Ａ，令 ａ＝２，ｂ＝１，ｃ＝－１，ｄ＝ －２，满足ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ，但 ａ＋ｄ＝ｂ＋ｃ，故 Ａ 错误， 对于Ｂ，因为ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ，即ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ， 所以由不等式的可加性可得，ａ＋ｃ＞ｂ＋ｄ，故 Ｂ 正确， 对于Ｃ，令ａ＝２，ｂ＝１，ｃ＝－１，ｄ＝－２，满足 ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ，但ａｃ＝ｂｄ，故Ｃ错误， 对于Ｄ，令ａ＝２，ｂ＝１，ｃ＝－１，ｄ＝－２，满足 ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ，但ａｄ＜ｂｃ，故Ｄ错误．故选Ｂ                               ． !" ２ # ,-&.,- ■■ １１　 ■ （２０１７·山东）若 ａ＞ｂ＞０，且 ａｂ＝１，则 下列不等式成立的是 （　　） Ａ．ａ＋１ｂ＜ ｂ ２ａ ＜ｌｏｇ２（ａ＋ｂ） Ｂ．ｂ ２ａ ＜ｌｏｇ２（ａ＋ｂ）＜ａ＋ １ ｂ Ｃ．ａ＋１ｂ＜ｌｏｇ２（ａ＋ｂ）＜ ｂ ２ａ Ｄ．ｌｏｇ２（ａ＋ｂ）＜ａ＋ １ ｂ＜ ｂ ２ａ 因为ａ＞ｂ＞０，且ａｂ＝１，所以可取ａ＝２， ｂ＝１２．则ａ＋ １ ｂ＝４， ｂ ２ａ ＝ １ ２ ２２ ＝１８，ｌｏｇ２（ａ＋ｂ） ＝ｌｏｇ２ ２＋ １( )２ ＝ｌｏｇ２ ５２∈（１，２），所以 ｂ２ａ＜ｌｏｇ２ （ａ＋ｂ）＜ａ＋１ｂ．故选Ｂ． （２０１９·新课标Ⅱ）若ａ＞ｂ，则 （　　） Ａ．ｌｎ（ａ－ｂ）＞０ Ｂ．３ａ＜３ｂ Ｃ．ａ３－ｂ３＞０ Ｄ． ａ＞ ｂ 取ａ＝０，ｂ＝－１，则 ｌｎ（ａ－ｂ）＝ｌｎ１＝０， 排除Ａ；３ａ＝３０＝１＞３ｂ＝３－１＝１３，排除Ｂ； ａ３＝０３＞（－１）３＝－１＝ｂ３，故 Ｃ对； ａ ＝０＜ －１ ＝１＝ ｂ，排除Ｄ．故选Ｃ． （２０２１·上海）已知两两不相等的 ｘ１，ｙ１， ｘ２，ｙ２，ｘ３，ｙ３，同时满足①ｘ１＜ｙ１，ｘ２＜ ｙ２，ｘ３＜ｙ３；②ｘ１＋ｙ１＝ｘ２＋ｙ２＝ｘ３＋ｙ３； ③ｘ１ｙ１＋ｘ３ｙ３＝２ｘ２ｙ２，以下哪个选项恒成 立 （　　） Ａ．２ｘ２＜ｘ１＋ｘ３ Ｂ．２ｘ２＞ｘ１＋ｘ３ Ｃ．ｘ２２＜ｘ１ｘ３ Ｄ．ｘ ２ ２＞ｘ１ｘ３ 设 ｘ１ ＋ｙ１ ＝ｘ２ ＋ｙ２ ＝ｘ３ ＋ｙ３ ＝２ｍ， ｘ１＝ｍ－ａ ｙ１＝ｍ＋{ ａ， ｘ２＝ｍ－ｂ ｙ２＝ｍ＋{ ｂ， ｘ３＝ｍ－ｃ ｙ３＝ｍ＋{ ｃ， 根据题意，应该有 ａ≠ｂ≠ｃ ａ，ｂ，ｃ{ ＞０，且 ｍ２－ａ２＋ｍ２ －ｃ２＝２（ｍ２－ｂ２）＞０，则有 ａ２＋ｃ２＝２ｂ２ ｍ２＞ｂ{ ２ ， 则ｘ１＋ｘ３－２ｘ２＝（ｍ－ａ）＋（ｍ－ｃ）－２（ｍ－ｂ）＝ ２ｂ－（ａ＋ｃ），因为（２ｂ）２－（ａ＋ｃ）