第11章 第8节 成对双飞-【MST老唐说题】高分数学满分突破 第一轮

! " KL 34 MNO PQ 56 RST !８"#~M. !"#$ 考点 出现频率 ２０２４年预测 变量间的相关关系 Ⅱ 线性回归 Ⅲ 非线性回归 Ⅲ 独立性检验 Ⅱ ２０２４年在选择题和填空题中仍会重点考查各种统计图 表、古典概型或几何概型及其概率计算，在解答题中 重点考查频率分布直方图及其应用（与概率相结合）， 离散性随机变量的分布列与均值，二项分布及其应用， 统计案例及其应用． １．变量间的相关关系 （１）变量间的相关关系 当自变量取值一定时，因变量的取值带有一 定的随机性，则这两个变量之间的关系叫相关关 系．由于相关关系的不确定性，在寻找变量之间 相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作 用．我们可以通过收集大量的数据，在对数据进 行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们 的关系作出判断． 注意：相关关系与函数关系是不同的，相关 关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定 的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关 关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． （２）散点图 将样本中的狀个数据点（狓犻，狔犻）（犻＝１，２， …，狀）描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散 点图．根据散点图中点的分布可以直观地判断两 个变量之间的关系． ①如果散点图中的点散布在从左下角到右上 角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我 们将它称为正相关，如图１所示； ②如果散点图中的点散布在从左上角到右下 角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我 们将它称为负相关，如图２所示． （３）相关系数 若相应于变量狓的取值狓犻，变量狔的观测 值为狔犻（１≤犻≤狀），则变量狓与狔的相关系数狉＝ ∑ 狀 犻＝１ （狓犻－狓 －）（狔犻－狔 －） ∑ 狀 犻＝１ （狓犻－狓 －）２∑ 狀 犻＝１ （狔犻－狔 －）槡 ２ ＝ ∑ 狀 犻＝１ 狓犻狔犻－狀狓 － 狔 － ∑ 狀 犻＝１ 狓２犻－狀狓 － 槡 ２ ∑ 狀 犻＝１ 狔 ２ 犻－狀狔 － 槡 ２ ， 通常用狉来衡量狓与狔之间的线性关系的强弱， 狉的范围为－１≤狉≤１． ①当狉＞０时，表示两个变量正相关；当狉＜ ０时，表示两个变量负相关； ②狉 越接近１，表示两个变量的线性相关 性越强；狉 越接近０，表示两个变量间几乎不 存在线性相关关系．当｜狉｜＝１时，所有数据 点都在一条直线上； ③通常当狉 ＞０．７５时，认为两个变量具有 很强的线性相关关系． 公式的选择原则：若题目没有给出部分数据 的整体和，则用第１组公式计算，先算减法可以 使数据变小，再算乘法计算简单；若题目给出了 部分数据的整体和，则用第２组公式，有时两组 公式需要配合使用． ２．线性回归 （１）一元线性回归模型 狔关于狓的一元线性回归模型用 狔＝犫狓＋犪＋犲 犈（犲）＝０，犇（犲）＝δ 烅 烄 烆 ２ 表示，其中狔称为因变量或预报变量，狓称为自变量或 解释变量，犪和犫为模型的未知参数，犪称为截距 参数，犫称为斜率参数；犲是狔与犫狓＋犪之间的 随机误差；δ２越小，精度越高               ． ·３９２· 学习数学·领悟数学· !" （２）回归直线方程 １）如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线 性相关关系，这条直线叫做回归直线．回归直线 对应的方程叫做回归直线方程（简称回归方程）． ２）通过求犙＝∑ 狀 犻＝１ （狔犻－犫狓犻－犪）２ 的最小值而 得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回 归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘 法．该式取最小值时的犪，犫的值即分别为犪 ∧ ，犫 ∧ ． ３）设已经得到两个具有线性相关关系的变量 的一组数据（狓１，狔１），（狓２，狔２），…，（狓狀， 狔狀），直线方程狔＝犫狓＋犪，其中犪，犫是待定 参数． 经数学上的推导，犪，犫的值由下列公式给 出： 犫 ∧ ＝ ∑ 狀 犻＝１ （狓犻－狓 －）（狔犻－狔 －） ∑ 狀 犻＝１ （狓犻－狓 －）２ ＝ ∑ 狀 犻＝１ 狓犻狔犻－狀狓 － 狔 － ∑ 狀 犻＝１ 狓２犻－狀狓 －２ 犪 ∧ ＝狔 － －犫 ∧ 狓 烅 烄 烆 － ． 其中，回归直线的斜率为犫 ∧ ，截距为犪 ∧ ，即回归 方程为狔 ∧ ＝犫 ∧ 狓＋犪 ∧ ，它主要用来预测并对总体进 行估计． 说明：回归方程一定通过样本点的中心（狓－， 狔 －），可能不经过（狓１，狔１），（狓２，狔２），…，（狓狀， 狔狀）中的任何一点． （３）刻画回归效果的方式：残差分析 对于预报变量狔，通过观测得到的数据称为 观测值狔犻，通过回归方程得到的狔 ∧ 称为预测值， 观测值减去预测值等于残差，^犲犻 称为相应于点 （狓犻，狔犻）的残差，即有犲^犻＝狔犻－狔 ∧ 犻．残差是随机 误差的估计结果 ，通过对残差的分析可